Спосіб визначення параметра коливань нелінійної дисипативної коливальної системи

Спосіб визначення параметра коливань нелінійної дисипативної коливальної системи, за яким задають перше початкове значення амплітуди коливань нелінійної дисипативної коливальної системи, вимірюють перший і другий часові інтервали зміни амплітуди коливань, задають перше кінцеве значення амплітуди коливань системи, вимір першого часового інтервалу і числа циклів коливань в цьому інтервалі проводять при зміні амплітуди від її першого початкового значення до першого кінцевого значення, далі задають друге початкове і друге кінцеве значення амплітуди коливань, вимір другого часового інтервалу і числа циклів коливань проводять при зміні амплітуди коливань від її другого початкового значення до другого кінцевого значення, змінюють інерційність нелінійної дисипативної коливальної системи і проводять вищевказану сук упність операцій по визначенню першого і другого часових інтервалів і чисел циклів коливань в кожному часовому інтервалі при зміні амплітуди коливань від її першого початкового значення до першого кінцевого значення, від другого початкового значення до другого кінцевого значення відповідно, який відрізняється тим, що додатково (k-1) разів (k = 2, 3, 4, ...) проводять вимір першого часового інтервалу і числа циклів коливань в цьому інтервалі при зміні амплітуди коливань від її першого початкового значення до першого кінцевого значення, (k-1) разів проводять вимір другого часового інтервалу і числа циклів коливань в цьому інтервалі при зміні амплітуди коливань від її другого початкового зна чення до другого кінцевого значення, після зміни інерційності нелінійної дисипативної коливальної системи (k-1) разів проводять виміри першого і другого часових інтервалів і чисел циклів коливань в цих інтервалах, а частоту w0 вільних коливань лінійної породжувальної системи визначають по співвідношенню: Корисна модель відноситься до області машинобудівної, авіаційної і космічної техніки, а саме до способів визначення параметрів вільних коливань нелінійних дисипативних коливальних систем із кінцевим числом ступенів вільності, і може бути, зокрема, застосована при визначенні моментів інерції за допомогою механічних коливальних систем. D*t , Di* t (i = 1,k; k = 2,3,...) - групи першого і другого i часових інтервалів при зміні амплітуди коливань від її першого початкового значення до першого кінцевого значення, від другого початкового значення до другого кінцевого значення відповідно при зміні інерційності нелінійної дисипативної коливальної системи; (13) (19) n* , n i* (i = 1 k; k = 2,3,...) - числа циклів коливань в , i групах першого і другого часови х інтервалів відповідно при зміні інерційності нелінійної дисипативної коливальної системи. 35274 ni, ni (i = 1,k; k = 2,3,...) - числа циклів коливань в групах першого і другого часови х інтервалів відповідно; (11) де: Di t , Di t (i = 1,k; k = 2,3,...) - групи першого і другого часових інтервалів при зміні амплітуди коливань від її першого початкового значення до першого кінцевого значення, від друго го початкового значення до другого кінцевого значення відповідно; U , UA é *2 æ * * * ö êå Ditå Di tç å Di t å ni Di t - å Di tå ni Di t ÷ ç ÷ è ø ë *2 æ * * * öù - å Ditå Di tç å Di tå ni D t - å D tå n i Di t ÷ú i i è øû w0 = 2 p * 2 *2 æ *t D2 t D *2 t çå Ditå Di tå Di tå Di t - å Dit å Di å ç i å i è 3 35274 4 Відомий спосіб визначення параметра колиють перше початкове значення амплітуди коливань нелінійної дисипативної коливальної систевань нелінійної дисипативної коливальної системи, за яким задають перше початкове значення ми, вимірюють перший і другий часові інтервали амплітуди коливань нелінійної дисипативної колизміни амплітуди коливань, задають перше кінцеве вальної системи, вимірюють перший і другий чазначення амплітуди коливань системи, вимір персові інтервали зміни амплітуди коливань [Гернет шого часового інтервалу і число циклів коливань в М.М., Ратобильский В.Ф. Определение моментов цьому інтервалі призводять при зміні амплітуди від инерции. - М.: Машиностроение, 1969, с.84, 85, її першого початкового значення до першого кін207, 209]. цевого значення, далі задають друге початкове і Недолік відомого способу - недостатня точдруге кінцеве значення амплітуди коливань, вимір ність, яка пояснюється помилками за рахунок придругого часового інтервалу і числа циклів колийнятого допущення про те, що коефіцієнт KR анівань призводять при зміні амплітуди коливань від зохронності коливань не залежить від амплітуди її др угого початкового значення до другого кінцеколивань. вого значення, змінюють інерційність нелінійної За прототип вибрано спосіб визначення парадисипативної коливальної системи і призводять метра коливань нелінійної дисипативної коливавищевказану сукупність операцій по визначенню льної системи, за яким задають перше початкове першого і другого часових інтервалів і чисел циклів значення амплітуди коливань нелінійної дисипатиколивань в кожному часовому інтервалі при зміні вної коливальної системи, вимірюють перший і амплітуди коливань від її першого початкового другий часові інтервали зміни амплітуди коливань, значення до першого кінцевого значення, від друзадають перше кінцеве значення амплітуди колигого початкового значення до другого кінцевого вань системи, вимір першого часового інтервалу і значення відповідно, згідно з корисною моделлю, числа циклів коливань призводять при зміні амплідодатково (k-1) разів (k = 2, 3, 4, ...) призводять туди коливань від її першого початкового значення вимір першого часового інтервалу і числа циклів до першого кінцевого значення, потім задають коливань в цьому інтервалі при зміні амплітуди друге початкове і друге кінцеве значення амплітуколивань від її першого початкового значення до ди коливань, вимір другого часового інтервалу і першого кінцевого значення, (k-1) разів призводять числа циклів коливань призводять при зміні амплівимір другого часового інтервалу і числа циклів туди коливань від її др уго го початкового значення коливань в цьому інтервалі при зміні амплітуди до другого кінцевого значення, після чого змінюколивань від її другого початкового значення до ють інерційність нелінійної дисипативної коливадругого кінцевого значення, після зміни інерційнольної системи і призводять вищевказану сукупсті нелінійної дисипативної коливальної системи ність операцій для системи з іншою інерційністю, (k-1) разів призводять виміри першого і другого визначення параметра нелінійної дисипативної часових інтервалів і чисел циклів коливань в цих коливальної системи призводять при урахуванні інтервалах, а частоту w0 вільних коливань лінійної амплітуд і чисел циклів коливань, часових інтерпороджувальної системи визначають по співвідвалів, що вимірюються [Ав. св. СССР №1703990, ношенню: MПK G01H 11/00, 1992]. é *2 æ * * * * ö ç ÷ êå Di tå Di tçå Di tå ni Di t - å Di tå ni Di t ÷ Недолік відомого способу є недостатня точè ø ë ність визначення параметра коливань нелінійної *2 æ * * * öù дисипативної коливальної системи, що поясню- å Ditå Di tç å Di tå niD t - å D tå ni Di t ÷ú i i è øû , ється неврахуванням похибок виміру, фіксації та w0 = 2 p * 2 *2 æ *t D2 t D *2 t запам’ятовування часових інтервалів та чисел ç å Ditå Di tå Di tå Di t - å Ditå Di å ç i å i è циклів коливань при зміні амплітудних значень коливань, а також недостатнім по множині інфорде: Di t , Di t (i = 1,k; k = 2,3,...) - групи першого і маційним масивом даних для зменшення похибок другого часови х інтервалів при зміні амплітуди визначення параметра коливань шляхом усередколивань від її першого початкового значення до нення. першого кінцевого значення, від другого початкоВ основу корисної моделі поставлене завданвого значення до другого кінцевого значення відня удосконалення способу визначення параметра повідно; коливань нелінійної дисипативної коливальної ni, ni (i = 1,k; k = 2,3,...) - числа циклів коливань в системи шляхом підвищення точності визначення групах першого і другого часови х інтервалів відпопараметра коливань, а саме, частоти вільних ковідно; ливань лінійної породжувальної системи за рахунок проведення додаткових те хнологічних операD*t , Di* t (i = 1,k; k = 2,3,...) - групи першого і друi цій по реєстрації і вимірюванню масивів часових гого часових інтервалів при зміні амплітуди колиінтервалів і чисел циклів коливань, які формують вань від її першого початкового значення до перрозширений інформаційний масив, що дає підсташого кінцевого значення , від другого початкового ви для формування нового алгоритму перетвозначення до другого кінцевого значення відповідно рень, які призводять до зменшення впливу похипри зміні інерційності нелінійної дисипативної кобок вимірювання на результат визначення частоти ливальної системи; вільних коливань лінійної породжувальної систеni*t , ni * t (i = 1,k; k = 2,3,...) - числа циклів колими. Поставлене завдання вирішується тим, що в вань в групах першого і другого часових інтервалів способі визначення параметра коливань нелінійної відповідно при зміні інерційності нелінійної дисидисипативної коливальної системи, за яким задапативної коливальної системи. 5 35274 6 Застосування запропонованого способу вичення X * ; Dt - часовий інтервал, що відповідає a значення параметрів коливань нелінійної дисипативної коливальної системи разом з усіма суттєзміні амплітудного значення від X a0 до X * . a вими ознаками, включаючи відмінні, забезпечує Приймаючи до уваги той факт, що часові інпідвищення точності визначення частоти вільних коливань лінійної породжувальної системи за ратервали Dit, числа ni циклів коливань, які відповіхунок проведення додаткових те хнологічних опедають фіксованим часовим інтервалам Dit, та ампрацій по реєстрації і вимірюванню масиву часових літудні значення Xa1 , Xa 2 , Xa 3 , Xa 4 вимірюються інтервалів і чисел циклів коливань, які формують при наявності похибок, із рівняння (4) отримаємо розширений інформаційний масив, що дає підстатаку систему рівнянь ву до формування нового алгоритму алгебраїчних X перетворень, які призводять до зменшення впливу 1 a2 -1 ni = f01D it + (5) похибок вимірювання на кінцевий результат виò A 1 (X a )B1( X a )dX a + x i (t ) , 2p значення частоти вільних коливань лінійної пороX a1 джувальної коливальної системи. X 1 a4 -1 Розробка нового алгоритму визначення параni = f01 Di t + (6) ò A 2 ( Xa )B 2 ( Xa )dX a + x i (t ) , метра коливань нелінійної дисипативної колива2p X a3 льної системи базується на наступних теоретичX них викладках. 1 n* i = f02 D*i t + A -1( Xa )B3 ( Xa )dX a + x * ( t) , (7) i Розглянемо математичну модель, що відпові3 2p ò X дає нелінійній дисипативній коливальній системі в формі автономного диференціального рівняння X * * 1 * другого порядку n i = f02 D i t + A -1( Xa )B 4 ( X a ) dXa + xi ( t) , (8) 4 2p ò X d2 x dx (1) + w 2 x = ef ( x, ) , де: 0 dt dt 2 (9) (2pf01)2 = cm-1 , (2pf02 )2 = c(m + D m) -1 , де х - узагальнена координата , w0 - частота вільних коливань лінійної породжувальної систеDm - додаткова маса; ni, Dit; n i D i t(i = 1 k ) - чи, dx dx сла циклів та часові інтервали при коливаннях ми; f (x, ) - функція від х і , e - малий позитиdt dt маси m і при зміні амплітуди коливань від значенвний параметр. ня X a 1 до Xa 2 та від значення Xa 3 до Xa 4 відпоРішення x=Xacosy рівняння (1) в першому наближенні визначається із рівнянь першого набливідно; n*i, D*it; ni * D *i t(i = 1 k ) - числа циклів та ча, ження відносно амплітуди Ха і фази y [Боголюбов сові інтервали при коливаннях маси (m+Dm) і при H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические метозміні амплітуди коливань від значення Xa1 до Xa 2 ды в теории нелинейных колебаний. - М.: Физматгиз, 1963. - c.36-49] та від значення Xa 3 до Xa 4 відповідно; xi (t ) , dXa dy a (2) = eA1 ( X a ) , = w 0 + eB1 (X a ) , * dt dt xi( t ) , x *i (t ) , x i (t ) , випадкові процеси, що мають де: нульове математичне сподівання М[ z i (t ) ] = 0 і ü 1 2p A1( Xa ) = f ( Xa cos y, - Xaw0 sin y ) sin y dy, ï кінцеву дисперсію М[ xi2( t ) ] < С, С = соnst, (і=1, k ; 2pw0 ò ï ï, 0 ý (3) k=2,3,...). 2p ï 1 На підставі системи рівнянь (5)-(8) отримаємо B1( Xa ) = f( Xa cos y, - Xaw0 sin y ) cos ydy,ï 2pXaw0 ò такі мінімізуючи функції: ï 0 þ X k У відомих дослідженнях [Ав.св. СССР 1 a2 - 1 2 S1 = å [ni - f01 i t D №1703990, МКИ G01H11/00. - Опубл. 07.01.92. ò A1 (Xa )B1( Xa )dXa ] , (10) 2p i= 1 Бюл. №1; Пузько И.Д., Хворост В.А. Параметрична X a1 ідентифікація нелінійних коливних систем// МашиX k 1 a 4 -1 нознавство. - 1999. - №7(25). - С.36-40] із системи 2 S2 = å [ni - f01Di t ò A2 (Xa )B2 ( Xa )dXa ] , (11) (2) рівнянь першого наближення після нескладних 2p i =1 Xa 3 перетворень отримано інтегральне рівняння для визначення w0, а саме: X k 1 a2 -1 2 S3 = å [n*i - f02 D* it ò A 3 ( Xa )B 3 (Xa )dX a ] , (12) X *a 2p - 1( X )dX , i= 1 X a1 2p n = w0 Dt + ò B1( Xa )A 1 (4) a a X k * Xa0 * 1 S 4 = å [n i - f02 D i t A -1( Xa )B 4 ( Xa ) dXa ]2 , (13) 4 2p ò i =1 X де X a0 , X * - початкове і кінцеве значення a a2 a1 a4 a3 a4 a3 амплітуд Ха коливань відповідно; n - число коливань при зміні амплітуди від значення X a0 до зна Мінімізуючи функції S1, S2, S3, S4 формують таку систему нормальних рівнянь відносно невідомих частот f01, f 02, де для спрощення знаки сум введені без індексів 7 Xa 2 1 å niDi t - f01å D2i t = 2p å Dit ò X a1 å ni D it - f01å D 2 1 it = 2p å n*i D*i t - f *02 å D*2it = ån -1 A ( Xa )B1(X a )dXa 1 Xa 4 å D it ò Xa 3 1 å D*it 2p A -1( Xa )B2( Xa )dXa , 2 X a2 ò A Xa1 * * *2 1 * * i D i t - f 02 å D it = å D it 2p , Xa 4 ò Xa 3 -1 ( X a )B3 ( X a )dXa 3 , 35274 8 валі Dit, що відповідає зміні амплітуди коливань від першого початкового значення Ха 1 до першого (14) кінцевого значення Ха2. 4) При фіксації зміни амплітуди вільних коливань нелінійної дисипативної коливальної системи від другого початкового значення Ха 3 до другого (15) кінцевого значення Ха 4 фіксують і реєструють дру(16) A -1( Xa )B4 ( Xa ) dXa , (17) 4 Приймаючи до уваги (3), із системи (14), (15), (16), (17) рівнянь отримаємо такі рівняння, в яких не входять інтегральні складові R1f01 - R2f02 = G1 ü (18) ý R3f01 - R4f02 = G2 þ де R1 = å D2tå D*t; R2 = - å D*2 tå D t; i i i i 2 * *2 R 3 = å Di tå Di t; R4 = -å Di tå D t; i (19) * * * G1 = å D i tå niD t - å D tå n i Di t; i i * * * G2 = å Di tå ni D t - å D tå n i Di t; i i Із системи рівнянь (18) з допомогою детермінантів отримаємо співвідношення для визначення w0, (R G - R 4 G 1 ) w 0 = 2p 2 2 , (20) (R 2 R 3 - R 1R 4 ) де R1, R2, R3 , R4, G1 , G2 - визначаються співвідношеннями (19). Таким чином, співвідношення для визначення со0 при урахуванні (19), (20) набуває вигляду é *2 æ * * * ö ç ÷ êå Di t å Di t ç å Di t å ni Di t - å Di t åni Di t ÷ ê è ø ë *2 æ öù - å Dit å Di tç å D* t å niD t - å D t å n* D* t ÷ ú i i i i i è øû w0 = 2p æ * 2 *2 *2 ç å Dit å Di t å Di t å Di t - å Dit å D* t å D2 t å Di t i ç i è . (21) Спосіб визначення параметра коливань нелінійної дисипативної коливальної системи реалізують на підставі наступного алгоритму: 1) Формують режим вільних коливань досліджуваної нелінійної дисипативної коливальної системи. Задають значення першої початкової Ха 1 і першої кінцевої Ха2 амплітуд вільних коливань нелінійної дисипативної коливальної системи. 2) При фіксації зміни амплітуди вільних коливань від першого початкового значення Ха 1 до першого кінцевого значення Ха 2 фіксують перший часовий інтервал D1t і число n1 циклів (періодів) коливань в цьому часовому інтервалі. 3) Повторюють реалізацію режиму вільних коливань нелінійної дисипативної коливальної системи додатково (k-1) разів, де k=2, 3, ... і при кожній реалізації вимірюють часовий інтервал Dit (і= 2, k ) і числа nі циклів в кожному часовому інтер гий часовий інтервал D1t і число циклів n1 коливань, що відповідає часовому інтервалу D1t . 5) Повторюють реалізацію режиму вільних коливань нелінійної дисипативної коливальної системи (k-1) разів і при кожній реалізації фіксують і реєструють часові інтервали Di t (i = 2,k ) і числа ni циклів в кожному часовому інтервалі Di t , що відповідає зміні амплітуди коливань від другого початкового значення Ха 3 до другого кінцевого значення Ха4. Таким чином, формують дві групи "k" часових інтервалів і "k" чисел циклів відповідно. 6) Змінюють інерційність нелінійної дисипативної коливальної системи шляхом жорсткого з’єднання з масою "m" системи додаткової маси Dm при умові Dm