Спосіб формування навколо землі компланарної групи штучних супутників землі

1. Спосіб формування навколо Землі компланарно! групи штучних супутників Землі, у відповідності з яким визначають параметри орбіт, порядок та засоби виведення на них заданого числа Н штучних супутників Землі, виводять їх на розрахункові орбіти, під час виведення цим штучним супутникам Землі задають параметри виведення, які забезпечують компланарне розміщення центрів мас усіх Н штучних супутників Землі навколо Землі у межах спільної площини, що проходить через центр тяжіння Землі, при цьому штучні супутники Землі розміщують так, щоб лінії, що сполучають їх центри мас навколо • Землі, були віддалені від центра тяжіння Землі на відстань, не меншу за задане значення, що забезпечує умови прямої видимості для "сусідніх" штучних супутників Землі угрупування, що формується, під час експлуатації сформованого компланарного угрупування штучних супутників Землі періодично вимірюють параметри руху кожного з Н штучних супутників Землі, оцінюють параметри їх реальних орбіт і в разі необхідності корегують значення цих параметрів з метою збереження властивостей сформованого компланарного угрупування штучних супутників Землі, який в і д р і з н я Є' т ь с я тим, що штучні супутники Землі виводять на некомпланарні в загальному випадку близькі до кругових орбіти, параметри яких забезпечують розміщення центра мас кожного з Н штучних супутників Землі в точці, близькій до однієї й тієї ж площини, що проходить через центр тяжіння Землі і змінює свою орієнтацію в просторі за раніше відомим законом - "динамічна площина Абросімова М.М.". 2. Спосіб за п. 1, який в і д р і з н я є т ь с я тим, що компланарні угрупування формують з орбітальних пар, кожну орбітальну пару штучних супутників Землі створюють з можливою для практики точністю на одній й тій самі, близькій до кругової, орбіті, задають цим штучним супутникам Землі однакові напрямки руху по спільній орбіті і встановлюють аргументи широти штучним супутникам Землі орбітальної пари, які забезпечують діаметрально протилежне відносно центра тяжіння положення штучних супутників Землі цієї пари на їх спільній орбіті. 3. Спосіб за пп. 1, 2, який в і д р і з н я є т ь с я тим, що орбітальні пари штучних супутників Землі компланарного угрупування, що формується, розміщують в двох або декількох взаємно ортогональних орбітальних площинах, з яких найбільшу перевагу віддають екваторіальній площині та одній чи декільком полярним площинам. 4. Спосіб за пп. 1, 2, 3, який в і др і з н я є т ь с я тим, що при Н, що дорівнює чотирьом, одну з двох орбітальних пар виводять на екваторіальну орбіту, а іншу - на полярну, спільний рух двох орбітальних пар штучних супутників Землі погоджують так, щоб кутові швидкості ру С > о. 00 26787 ху штучних супутників Землі в обох орбітальних парах мали однакові знаки на відповідних осях геоцентричної правої прямокутної системи координат, а лінії, що з'єднують центри мас пари штучних супутників Землі на полярній орбіті і центри мас пари штучних супутників Землі на екваторіальній орбіті, були з допустимою точністю взаємно ортогональні в момент, коли обидва штучних супутників Землі полярної орбіти одночасно знаходяться в межах допустимих відхилень у висхідному та низхідному вузлах своєї орбіти, відповідно. 5. Спосіб за пп. 1, 2, 3, 4, який в і др і з н я є т ь с я тим, що при Н, що дорівнює чотирьом, головне значення Rq радіуса орбіт штучних супутників Землі компланарного угрупування обирають із співвідношення Я„ 2 • (R, + h), (1) де R3 - радіус Землі, прийнятий в навігаційно-балістичних розрахунках; h - крайня відстань від нульового рівня поверхні Землі, прийнятого в навігаційно-балістичних розрахунках, до лінії прямої видимості» що з'єднує центри мас двох сусідніх штучних супутників Землі угрупування, що формується, при цьому значення радіусів орбіт для екваторіальної (Re) та полярної (RJ орбітальних пар штучних супутників Землі визначаються із співвідношень ; Rn - Ro, + > 0 при Дсо^ < 0 ARe - (-2/3) • o ) • Д« р е п , (3) (4) Спосіб, що заявляється, відноситься до космонавтики, систем супутникового зв'язку, систем керування космічними апаратами (КА), систем огляду поверхні Землі і має за мету (технічний результат) формування навколо Землі компланарно I = co_ Лсо_ (6) 1=1 + Аса (7) де m - загальне число факторів, прийнятих до уваги при оцінюванні кутово? швидкості збуреного руху штучних супутників Землі за близькою до кругової орбітою в компланарному угрупуванні, що формується; j - порядковий номер збурюючого фактора; со0 - кутова швидкість незбуроного руху штучних супутників Землі за круговою орбітою з радіусом Ro; Awej, Да>п]! - додаток до кутової швидкості руху штучних супутників Землі екваторіальної та полярної орбіт відповідно, за рахунок впливу j-ro фактора. 6. Спосіб за пп. 1, 2, 3, 4, 5, який в і д р і з н я є т ь с я тим, що періодично по кожному штучному супутнику Землі кожної орбітальної пари сформованого компланарного угрупування за результатами траєкторних вимірювань оцінюють величину відхилень реальних значень аргументів широти штучних супутників Землі конкретної орбітальної пари від значень, що забезпечують діаметрально протилежне відносно центра тяжіння положення штучних супутників Землі цієї пари на їх спільній орбіті, порівнюють це відхилення з граничним відхиленням і в разі досягнення граничного відхилення виконують корегування аргументу широти одного з штучних супутників Землі орбітальної пари, що підлягає корегуванню, та встановлюють значення аргументу широти найбільш придатним для збереження властиввстей сформованого угрупування штучних супутників Землі. го угрупування (КУ) штучних супутників Землі (ШСЗ), які рухаються за некомпланарними орбітами на висотах, що значно відрізняються від висоти геостаціонарної орбіти (ҐО) як в меншу, так і в більшу сторони, що дає суттєве розширення діа 26787 пазону висот польоту ШСЗ, в межах якого можна сформувати навколо Землі КУ ШСЗ. Широко відомим [1] способом формування навколо Землі КУ ШСЗ є спосіб, у відповідності з яким усі КА цього КУ виводять на орбіти, які розміщені в одній й тій самій площині, тобто на компланарні орбіти (аналог). Найбільш широко [1, 2] використовується спосіб формування навколо Землі КУ з ШСЗ, у відповідності з яким декілька (Н) ШСЗ (часто Н=3) виводять на ГО та розміщують їх так, щоб лінії, що сполучають їх центри мас (ЦМ) навколо Землі, утворили Н-кутник, який розміщують так, щоб створити найкращі умови для виконання цільових завдань угрупуванням ШСЗ, в процесі експлуатації сформованого КУ ШСЗ періодично вимірюють параметри руху кожного з Н ШСЗ, оцінюють параметри їх орбіт і в разі необхідності корегують значення цих параметрів з метою збереження властивостей сформованого КУ ШСЗ (прототип). .Останній спосіб поряд з достоїнствами має перелічені нижче недоліки. 1. ГО є єдиною унікальною навколоземною орбітою. На теперішній час ГО майже повністю "заселена" КА різних держав Землі. Можна вважати, що число ШСЗ, які можна розмістити на ГО, дорівнює 360. На теперішній час зайнято більше 300 позицій ГО [2]. Якщо зважити, що не всі позиції ГО зручні для використання, то стає ясним, що ГО дійсно майже пов-. ністю "заселена", і це перешкоджає збільшенню числа не тільки КУ, а й окремих КА - ретрансляторів (КАР), що розміщені на ГО. Збільшення потреби у використанні КУ ШСЗ у складі супутникових систем зв'язку (ССЗ), системах керування КА та ін. приводить до необхідності пошуку рішень, альтернативних використанню ГО. 2. ШСЗ, що рухаються за ГО, мають велику висоту польоту над поверхнею Землі (біля 35786 км), що створює достатньо жорсткі вимоги по енергетичних співвідношеннях в радіоканалах "Земля - борт" та "борт - борт". Рівняння радіозв'язку (див,, наприклад, [3]) має вигляд Gnp х * Ппер ' (4) де D - дальність радіозв'язку (м); X - довжина хвилі сигналів в радіоканалі (м); Р 5 10 15 20 25 ЗО 35 40 45 50 55 и' Р пр mm " ВІДПОВІДНО ПОТУЖНІСТЬ ВИП ромінювання стан ції-передавач а та чутливість станції-приймача у Вт; GnepP Gnp - коефіцієнти посилення відповідно антени-передавача та антениприймача; ^ W ^пр ~ коефіцієнти передачі антенно-хвилеводного тракту відповідно станціїпередавача та станції-приймача. 3 рівняння (1) видно, що потрібна енергетика станцій в радіоканалі прямопропорційна квадрата дальності радіозв'язку. Це означає, що при переході до використання кругових орбіт з висотою польоту КА біля 6000 км над Землею потрібна енергетика радіоканалу "Земля - борт" зменшиться в 34 рази порівняно з енергетикою такого ж каналу для ГО, а при переході до орбіт з висотою 1000 км зменшення буде 1225 разів. Вказані цифри підтверджують, що використання ГО пов'язане з достатньо жорсткими вимогами до енергетики радіоканалів "Земля - борт". 3. КУ ШСЗ, сформована на ГО, не забезпечує глобальної зони видимості цих ШСЗ з усіх точок на поверхні Землі, бо не охоплює приполярні райони Землі (від широти біля 71.5° в обох півкулях) і має, провали в зоні видимості при Н=3 від полярних районів до широти біля 50° в обох півкулях (див. в [1] мал. 4.8. на стор. 166). Іншими словами на поверхні Землі існують достатньо великі області точок, з яких ШСЗ, розташований на ГО, ніколи не можна побачити. З трьох перелічених вище недоліків, властивих КУ на ГО, перший свідчить про практичну необхідність шукати спосіб формування навколо Землі КУ ШСЗ без використання ГО. Другий недолік орієнтує' на пошук рішень з використанням орбіт, що мають значно менший радіус, ніж радіус ГО. Використовуючи принцип аналогії, мож- • иа було б рекомендувати перейти на екваторіальні орбіти меншого радіуса, однак при цьому втрачається властивість стаціонарності, яка належить ГО, а властивість глобальності, яка неповна у ГО, стає ще гіршою, хоча властивість компланарності забезпечується. Поставлена задача досягається тим, що, як і у відповідності з відомим способом, визначають параметри орбіт, порядок та засоби виведення на них заданого числа Н ШСЗ, виводять їх на розрахункові орбіти, під час виведення цим ШСЗ задають параметри виведення, які забезпечують компланарне розміщення ЦМ усіх Н ШСЗ навколо Землі у межах спільної пло 7 8 26787 щини, що проходить через центр тяжіння Землі (ЦТЗ), при цьому ШСЗ розміщують так, щоб лінії, що сполучають їх ЦМ навколо Землі, були віддалені від ЦТЗ на відстань, не меншу за задане значення, що забезпечує умови прямої видимості для сусідніх ШСЗ КУ, що формується. Під час експлуатації сформованого КУ періодично вимірюють параметри руху кожного з Н ШСЗ, оцінюють параметри їх реальних орбіт, і в разі необхідності корегують значення цих параметрів з метою збереження властивостей сформованого КУ ШСЗ. Однак, згідно винаходу, ШСЗ виводять на некомпланарні в загальному випадку, близькі до кругових, орбіти, параметри яких забезпечують розміщення ЦМ кожного з Н ШСЗ в точці, близькій до однієї й тієї ж площини, що проходить через ЦТЗ і змінює свою орієнтацію в просторі за раніше відомим законом ("динамічна площина Абросімова М.М.", чи коротше - "площина АММ"). Поставлена задача досягається також тим, що, згідно винаходу, КУ формують з орбітальних пар, кожну орбітальну пару ШСЗ створюють з можливою для практики точністю на одній й тій самій близькій до кругової орбіти, завдають цим ШСЗ однакові напрямки руху по спільній орбіті та встановлюють аргументи широти ШСЗ орбітальної пари, які забезпечують діаметрально протилежне відносно центру тяжіння положення ШСЗ цієї пари на їх спільній орбіті. Крім того, поставлена задача досягається тим, що, згідно винаходу, орбітальні пари ШСЗ КУ, що формуються, розміщують в двох або декількох взаємно ортогональних орбітальних площинах, з котрих найбільшу перевагу віддають екваторіальній площині та одній чи декільком полярним площинам. Поставлена задача досягається ще й тим» що, згідно винаходу, при Н, що дорівнює чотирьом, одну з двох орбітальних пар виводять на екваторіальну орбіту, а іншу - на полярну орбіту, спільний рух двох орбітальних пар ШСЗ погоджують так, щоб кутові швидкості руху ШСЗ в обох орбітальних парах мали однакові знаки на відповідних осях геоцентричної правої прямокутної системи координат, а лінії, що з'єднують ЦМ пари ШСЗ на полярній орбіті та ЦМ пари ШСЗ на екваторіальній орбіті, були з допустимою точністю взаємно ортогональні з момент* коли обидва ШСЗ полярної орбіти одночасно знаходяться в межах допустимих відхилень у висхідному та нисхідному вузлах своєї орбіти, відповідно. Поставлена задача досягається ще й тим, що, згідно винаходу, при Н, що до5 рівнює чотирьом, головне значення Ro радіуса орбіт ШСЗ в КУ обирають з співвідношення 10 R > 2 • (R + h), (2) де R3 - радіус Землі, прийнятий в навігаційно-балістичних розрахунках; h - крайня відстань від нульового рівня поверхні Землі, прийнятого в навігацій15 но-балістичних розрахунках, л.о лінії прямої видимості, що з'єднує ЦМ двох сусідніх ШСЗ угрупування, що формується. При цьому значення радіусів орбіт для екваторіальної (Re) та полярної (RJ орбі20 тальних'пар ШСЗ визначаються із співвідношень: 25 при (3) Дш реп > 0 IARI, ЗО при AR (4) Дш реп 0 ) • Д ш , (5) (6) 35 40 Дсо„ (8) 45 де m - загальне число факторів, прийнятих до уваги при оцінюванні кутової швидкості збуреного руху ШСЗ за близькою до кругової орбітою в КУ, що формується: j - порядковий номер збурюючого фак50 тора; too - кутова швидкість незбуреного руху ШСЗ за круговою орбітою з радіусом 55 Дсо0), Дш , - додаток до кутової швидкості руху ШСЗ екваторіальної та полярної орбіт відповідно, за рахунок впливу j го фактора. Поставлена задача досягається, нарешті, тим, що, згідно винаходу, періодич 26787 10 но по кожному ШСЗ кожної орбітальної 5. При числі Н, що дорівнює чотирпари сформованого КУ за результатами ьом, одну з двох орбітальних пар виводять траєкторних вимірювань оцінюють величина екваторіальну орбіту, а іншу - на пону відхилень реальних значень аргументів лярну, спільний рух двох орбітальних пар широти ШСЗ конкретної орбітальної пари 5 ШСЗ погоджують так, щоб кутові швидвід значень, що забезпечують діаметралькості руху ШСЗ в обох орбітальних парах но протилежне відносно центру тяжіння помали однакові знаки на відповідних осях ложення ШСЗ цієї пари на їх спільній оргеоцентричної правої прямокутної систебіті, порівнюють це відхилення з граничним ми координат, а лінії, що з'єднують ЦМ відхиленням і в разі досягнення граничного 10 пари ШСЗ на полярній орбіті і ЦМ пари відхилення виконують корегування аргументу ШСЗ на екваторіальній орбіті, були з дошироти одного з ШСЗ орбітальної пари, пустимою точністю взаємно ортогональні що підлягає корегуванню, та встановлюють в момент, коли обидва ШСЗ полярної орзначення аргументу широти найбільш прибіти одночасно знаходяться в межах додатним для збереження властивостей сфор- 15 пустимих відхилень в східному та висхідмованого угрупування ШСЗ. ному вузлах своєї орбіти, відповідно. Для способу, що заявляється, суттє6. При Н, що дорівнює чотирьом, говими відмінними від прототипу є ознаки, ловне значення Ro радіуса орбіт ШСЗ КУ що перелічені нижче ("Перелік"). обирають із співвідношення (2), а значен1. Число Н ШСЗ виводять на некомп- 20 ня радіусів орбіт для екваторіальної (RJ та ланарні в загальному випадку, близькі до полярної (Rn) орбітальних пар обирають із кругових, орбіти, параметри яких забезпеспіввідношень (3)-(8). чують розміщення ЦМ кожного з Н ШСЗ Перелічені вище відмінні від прототипу в точці, близькій до однієї й тієї ж площиознаки з номерами 1-4 є достатніми у ни, що проходить через ЦТЗ і змінює свою 25 всіх випадках. Ознаки, що наведені в пункорієнтацію в просторі за раніше відомим тах 5 та 6 конкретизують спосіб, що заявзаконом. ляється, у випадку, коли Н=4. 2. КУ формують з орбітальних пар ШСЗ, Покажемо наявність причинно-наслід-, кожну орбітальну пару ШСЗ створюють з кових зв'язків між сукупністю суттєвих озможливою для практики точністю на одній 30 нак способу, що заявляється, та технічй тій самій близькій до кругової орбіти, ним результатом, що може бути досягнезавдають цим ШСЗ однакові напрямки руним. ху по спільній орбіті і встановлюють аргуПерш за все зазначимо, що легко моменти широти ШСЗ орбітальної пари, які же бути доведена. забезпечують діаметрально протилежне від- 35 Теорема 1: Крізь дві просторові пряносно центру тяжіння положення, ШСЗ цієї мі, що змінюють з часом орієнтацію в пари на їх спільній орбіті. просторі кожна за своїм відомим законом та мають незмінну (у відношенні до цих 3. Орбітальні пари ШСЗ КУ, що форпрямих) точку перетину, в кожний момент муються, розміщують в двох або декількох взаємно ортогональних орбітальних пло- 40 часу можна провести тільки одну площищинах, з котрих найбільшу перевагу відну, в якій лежать обидві прямі, причому дають екваторіальній площині та одній чи орієнтація цієї площини в просторі в кождекільком полярним площинам. ний момент часу однозначно визначається законами зміни просторової орієнтації 4. Періодично по кожному ШСЗ кожної орбітальної пари сформованого КУ за 45 кожної з двох названих прямих. результатами траєкторних вимірювань оціРозглянемо двв вільно орієнтовані в нюють величину відхилень реальних знапросторі орбітальні площини, що прохочень аргументів широти ШСЗ конкретної дять хрізь ЦТЗ. В кожній площині опишеорбітальної пари від значень, що забезпемо по одній орбіті ШСЗ. Припустимо, що чують діаметрально протилежне відносно 50 по кожній орбіті рухаються в одному напцентра тяжіння положення ШСЗ цієї пари рямку два ШСЗ, які займають діаметральна їх спільній орбіті, порівнюють це відхино протилежні відносно центру тяжіння полення з граничним відхиленням і в разі ложення. Тоді точки, що відповідають подосягнення граничного відхилення виколоженню ЦМ кожного з ШСЗ, що рухають* нують корегування аргументу широти од- 55 ся за однією орбітою, можуть бути з'єдного з ШСЗ орбітальної пари, що підлягає нані просторовою прямою, що проходить корегуванню, та встановлюють значення крізь ЦТЗ. аргументу широти найбільш придатним для В силу закономірностей динаміки ползбереження властивостей сформованого ьоту ШСЗ діаметрально протилежні відугрупування ШСЗ, носно центру тяжіння положення двох ШСЗ, 11 26787 що рухаються за однією орбітою, можуть зберігатися в. межах всього оберту за орбітою тільки в разі кругових орбіт, або достатньо близьких до них. Крім того, один з фокусів еліпса орбіти співпадає з ЦТЗ. 5 Тоді лінії, що з'єднують пару ШСЗ на кожній з названих вище близьких до кругових орбіт, перетнуться в одній точці, що є ЦТЗ. Таким чином, рух чотирьох ШСЗ в цьому випадку відповідає вимогам Теоре- 10 ми 1. З цього випливає, що в цих умовах в будь-який момент масу ЦМ кожного з чотирьох ШСЗ при незбуреному русі завжди будуть знаходитися в одній й тій самій площині, що проходить крізь ЦТЗ, але змі- 15 нює своє просторове положення у відповідності з рухом обох пар ШСЗ за своїми орбітами. 12 Одним з найбільш суттєвих збурюючих факторів, що впливають на рух ШСЗ, є наявність стиснення Землі з боку полюсів, що обумовлює, в свою чергу, нецентральність її поля тяжіння. Найбільш важливим результатом впливу цього фактора є так звані "вікові" уходи параметрів орбіти ШСЗ. В ПІ показано, що фокальний параметр, ексцентриситет та кут нахилу орбіти ШСЗ вікових уходів не мають. Віковий уход довготи п східного вузла за виток траєкторії описується співвідношенням Зп cos і (Ю) Аналітичний опис зміни просторового положення радіус-вектора, що сполучає ЦМ 20 де р - фокальний параметр орбіти; ШСЗ з початком абсолютної геоцентричної і - нахил орбіти; системи координат, принципових трудноS - один з параметрів Землі, що дощів не має (див. підрозділ 2.6.6 в [4]). рівнює 66070 км 2 , визначення якого навеТоді рівняння площини (пропонуємо дене на стор. 98 в [1], назвати її площиною Абросімова M.M,S далі 25 5з співвідношення (10) витікає, що для - "площина АММ"), в якій завжди знахополярних орбіт (і = 90°) довгота східного дяться ЦМ чотирьох ШСЗ, що рухаються вузла п не має вікового уходу, що сприяє за описаним вище законом, визначиться стабілізації КУ ШСЗ, що формується. змішаним добутком векторів В той же час для екваторіальної орбіти 30 (і = 0° або і = 180°) саме поняття схід(г - г,)(г2 - r,)(r3 - г,) = 0, (9) ного вузла орбіти втрачає основний сенс, а динаміка фізичного процесу може бути де г,, г г - радіус-вектори ЦМ одного з врахована відповідним корегуванням оберШСЗ першої та другої орбітальних пар тального руху ШСЗ за екваторіальною орвідповідно; 35 бітою, ідо теж сприяє стабілізації угрупуг3 - початок прямокутної геоцентричвання ШСЗ, що формується. ної системи координат (див, стор. 247 в Віковий уход аргументу ш перигея за виток траєкторії описується співвідношен[4J). ням Викладені вище обставини доводять можливість формування навколо Землі КУ ШСЗ, що рухаються в загальному разі за да некоглпланарними орбітами. Показаний по( 4 - 5 sinzi) 11) дN рядок одержання аналітичної залежності (рівняння площини АММ), що описує зміну орієнтації в просторі та часі площини, 45 ( і, р, d - те ж саме, що й в (10). в якій одночасно та безперервно знахоУ випадку використання кругових ордяться ЦМ всіх чотирьох ШСЗ. Така плобіт поняття аргументу ОЇ перигея втрачає щина може бути описана і для випадку, свій основний сенс, а динаміка фізичного коли Н більше за чотири. процесу як в полярних, так і в екватсПодане доведення одержано в припу- 50 ріальних орбітах повинна враховуватися відщені, що при Н=4 ШСЗ виводять попарно повідним корегуванням обертального руху на дві різних вільно орієнтованих кругових ШСЗ за своєю орбітою з урахуванням (11) орбіти. Кожну пару ШСЗ виводять на одну та періоду оберту за орбітою. й ту саму кругову орбіту та забезпечують Наведені вище обставини свідчать про діаметрально протилежне положення на 55 те. що: їх спільній орбіті по відношенню до центра а) за рахунок вибору екваторіальної ТЙЖІННЯ. та полярної орбітальних площин, а також Таким чином, показаний причинно-наскругових орбіт вплив вікових уходів довголідковий зв'язок між технічним результати східного вузла та аргументу перигею том та суттєвими ознаками. або зводяться до нуля; або можуть врахо 13 26787 вуватися у вигляді поправок до обертального руху ШСЗ за його орбітою; б) в якості двох взаємно ортогональних орбітальних площин доцільно обрати екваторіальну та одну з полярних площин; в) існує конкретний причинно-наслідковий зв'язок між кінцевим технічним результатом (стійке КУ ШСЗ) та суттєвими ознаками, наведеними в п. З "Переліку". Наступні доведення причинно-наслідкового зв'язку потребують виконання аналітичних оцінок. З цією метою запровадиX,(t) — Yt(t) = i Ri Z,(t) f R • c o s (f, • c o s (f, wt 14 мо абсолютну геоцентричну прямокутну систему координат, початок якої сполучений з ЦТЗ, вісь OZ співпадає з віссю обертання Землі і має напрям на Північ, осі ОХ та OY лежать в екваторіальній пло-< щині Землі та сумісно з віссю О2 утворюють праву трійку. Тоді у відповідності з обгрунтованими вище суттєвими ознаками траєкторії руху двох ШСЗ в екваторіальній площині за круговими незбуреними орбітами в параметричному вигляді будуть описуватися співвідношеннями: X 2 (t) - R 2 • c o s (f 2 - co2 - t ) ; • t); Y 2 (t) - R2 • sin (f 2 w, • t ) ; - ш2 • t ) ; (12) Z 2 (t) - 0 ; . I f, = к; 0; де X^t), X2(t), Y,(t), Ya(t), Z,(t), Z2(t) - функції, шр описують зміни координат ЦМ першого та другого ШСЗ в часі, відповідно; R,, R2 - радіуси кругових орбіт ШСЗ з номерами 1 та 2; to,, (ог - кутові швидкості руху ШСЗ з номерами 1 та 2 за своїми орбітами; f1t f2 - константи фазового зрушення, що визначають положення ШСЗ з номерами 1 та 2 на їх орбітах. Запровадимо площину KOZ, що проходить по осі OZ, тобто ортогонально пло щині XOY. Будемо вважати, що вісь ОК утворена перетином площини KOZ та XOY і має позитивний напрямок, що лежить в межах першого квадранта площини XOY. Кут, що відраховується в площині XOY від позитивного напрямку осі ОХ проти годинникової стрілки до позитивного напрямку осі ОК, зазначимо а. Тоді рух третього та четвертого ШСЗ в полярній орбітальній площині можна описати в параметричному вигляді співвідношеннями: і w3 - t ) ; X 3 (t) = R3 • c o s (a) • c o s (f 3 Y 3 {t) = R3 • sin (a) - c o s (f 3 co3 - t ) ; Z 3 (t) - R 3 • sin (f, - ш 3 • t ) ; f 3 - 0; X 4 (t) = R d ' cos (a) - c o s (f 4 Y 4 (t) = R4 • sin (a) • c o s (f 4 ioA - t ) ; to, - t ) ; Z 4 (t) ь R4 . sin (f 4 - co4 * t ) ; f 4 де a - кут повороту площини KOZ, a інші позначення аналогічні зробленим в (12). В умовах незбуреного руху в співвідношеннях (12) та (13) можна прийняти: R,=R2=R3=R4=R, (о1=оіг= Запровадимо вектори: (14) (13) я, A, - [Х г (0, • fX.tt), Y,/t), Z t (t)], А, - [X2(t)f Y2(t), Z a (t)] ( A, - (X3(t), Vz(th Z 3 (t)], A4 - [X4(t), Y4(t), Z 4 (t)], (15) 26787 15 Тоді відрізки прямих, що сполучають ЦМ ШСЗ, визначаються векторами: А • ' • А]3 = Аз - А,; А м = \ 5 - А, . (16) Це в свою чергу дозволяє описати (у відповідності з п.2.6.6.2.1. на стор. 245 у [4]) рівняння просторових прямих, що про- 10 ходять крізь ЦМ ШСЗ та утворюють чотирикутник, що опоясує Землю в динамічній площині АММ, у вигляді: (А - А,) х А - 0 (17) 15 де А = (X, Y, Z); Д - визначені в (15); AtJ - визначені в (16), або в іншому вигляді, наведеному в п. 20 2.6.6.2.1 у [4]. Маючи рівняння прямих, що сполучають ЦМ ШСЗ (тобто ті, що лроходять крізь А), можна одержати аналітичні співвідношення, які описують величину відста- 25 ні d, від кожної з цих прямих до початку координат, тобто до ЦТЗ. У відповідності з п. 2.6.6.2.1. на стор. 246 у [4] для сторони, що описується вектором Alt, одержимо: . - ЗО dls = к-хг m + Y, • і) 2 + (-Y, • n + + Z, - m) 2 + (-Z, • I + X( • n)2] / (I 2 + + m 2 + n 2 ); I - (X, - X); 35 (18) " m = 2 • 0, але розташованим симетрично відносно ПП, тобто відносно t ~ 0. Останнє підтверджується графіками на фіг. 6 та 7, що збудовані для від'ємних значень t відносно ПП, тобто для t