Спосіб вимірювання математичного сподівання випадкового процесу

Запропонований спосіб відноситься до обчислювальної техніки і може бути використаний для вимірювання математичного сподівання стаціонарних негаусівських випадкових процесів та застосовуватись в інформаційновимірювальних системах радіотехніки, автоматичного управління та інш. Найбільш поширений спосіб вимірювання математичного сподівання випадкового процесу, що наведено в роботі [1, стр.269], складається з подачі випадкового процесу на аналого-цифровий перетворювач (АЦП), що здійснює дискретизацію неперервного випадкового процесу, після чого однаково розподілені некорельовані дискретні числові значення подаються на вхід пристрою для усереднення, який обчислює арифметичне середнє числових значень, що поступають на його вхід, з отриманням результату значення оцінки математичного сподівання на його виході. При цьому частота дискретизації повинна вибиратися таким чином, щоб період дискретизації перевищував максимальний інтервал кореляції досліджуваного випадкового процесу [1]. Недолік такого способу полягає у тому, що при відмінності закону розподілу ймовірностей випадкового процесу від гауссівського точність вимірювання математичного сподівання виявляється досить низькою. В основу винаходу поставлено задачу створення нового способу вимірювання математичного сподівання випадкового процесу з більш високою точністю. Це досягається тим, що випадковий процес подається на аналого-цифровий перетворювач, що здійснює дискретизацію неперервного випадкового процесу, після чого дискретні числові значення подаються на вхід пристрою для усереднення, що обчислює арифметичне середнє числових значень, що поступають на його вхід, з отриманням результату значення лінійної оцінки математичного сподівання на його виході, згідно винаходу, вибіркові значення з виходу аналого-цифрового перетворювача подають на два входи перемножувача (квадратора), на виході якого отримують квадрати вибіркових значень випадкового процесу, які подають на додатково встановлений пристрій усереднення вибіркових значень, з виходу якого арифметичне середнє квадратів числових значень інвертується інвертором та подається на один з чотирьох входів суматора, на другий вхід якого подається значення дисперсії випадкової величини, яке одночасно подається на дільник, де його розділяють на величину, отриману з виходу додаткового перемножувача, на два входи якого подається значення коефіцієнту асиметрії, при цьому вихід дільника з'єднаний з третім входом суматора, а на четвертий вхід подається величина з виходу другого додаткового перемножувача, на два входи якого подається лінійна оцінка математичного сподівання, після чого величина з виходу суматора подається на вхід блоку зведення в ступінь, а вихідна величина, що дорівнює квадратному кореню від вхідної величини, подається на один з трьох входів ви хідного суматора, на інші входи якого подають лінійну оцінку математичного сподівання та величину, яка формується з виходу дільника після обчислення операції добування квадратного кореня в додатковому блоці зведення в ступінь та інвертування цієї величини додатковим інвертором. Застосування запропонованого способу не базується на конкретному законі розподілу ймовірностей випадкового процесу, що аналізується. Використовуються більш прості статистичні характеристики, такі як дисперсія та коефіцієнт асиметрії. Саме відмінність останнього від нульового значення характеризує степінь відхилення будь-якого випадкового процесу від гауссівської моделі. Найбільш поширена оцінка, що належить до класу лінійних незеунути х оцінок, отримується як арифметичне середнє вибіркових значень та обчислюється за формулою n ˆ 1 (1) a = å xv n v =1 Проте така оцінка є досить грубою і при значній степені відмінності закону розподілу ймовірностей від гауссівського, її дисперсія буде далекою від ефективної. Відповідно точність вимірювання буде низькою. Для подолання цього недоліку пропонується ввести ряд додаткових лінійних і нелінійних перетворень над вибірковими значеннями і кінцеву оцінку шуканого значення математичного сподівання знаходити за формулою 1 ˆ a= k2 1 n å xv - g n v=1 3 2 ì ü2 æ n ö ïç 1 å x ÷ ï v÷ çn ï ï ïè v =1 ø ï +í ý ï 1 n 2 k2 ï ï- å x v + k + 2 ï ï n v =1 g3 ï î þ (2) де k 2 , g 3 - відповідно дисперсія та коефіцієнт асиметрії випадкового процесу, що спостерігається. Очевидно, що якщо g 3 = 0 , то вираз (2) стає то тожним виразові (1). Даний спосіб вимірювання математичного сподівання випадкового процесу передбачає наявність апріорної інформації про істинні значення величин дисперсії к з та коефіцієнта асиметрії g 3 . Виграш у точності в порівнянні з оцінкою, що отримується з (1), характеризується коефіцієнтом зменшення дисперсії оцінки, який буде складати g= s 22 a s 21 a раз. В даному випадку g є функцією коефіцієнту асиметрії g 3 g2 3 (3) 2 Згідно з нерівністю Коші-Буняковського, яка накладає обмеження на область допустимих значень g( g 3 ) = 1 g3 < 2 кумулянтних коефіцієнтів, зокрема , з аналізу формули (3) випливає, що значення коефіцієнта зменшення дисперсії g належить інтервалу (0;1]. Для ілюстрації роботи способу представлені наступні графічні матеріали: На Фіг.1 - блок-схема роботи способу. На Фіг.2 - залежність коефіцієнта зменшення дисперсії оцінок параметра a . Блок-схема, зображена на Фіг.1, ілюструє роботу способу та складається з аналого-цифрового перетворювача (АЦП) 1, перемножувача 2, додаткового перемножувача 3, пристрою для усереднення 4, додаткового пристрою для усереднення 5, дільника 6, другого додаткового перемножувача 7, інвертора 8, додаткового блоку зведення в степінь 9, суматора 10, блоку зведення в степінь 11, додаткового інвертора 12, вихідного суматора 13. Вхідний випадковий процес з відомою дисперсією k 2 з та коефіцієнтом асиметрії g 3 , подається на вхід аналого-цифрового перетворювача 1, який здійснює дискретизацію неперервного випадкового процесу, на його виході отримується послідовність випадкових величин (вибірка). За допомогою перемножувача 2 отримуються квадрати вибіркових значень. Лінійна та квадратична послідовності потрапляють відповідно на пристрої 4, 5, що вираховують арифметичне середнє числових значень, що поступають на їх вхід (операції накопичування та нормування). На виході пристрою 4 обчислюється лінійна усереднена статистика, що є грубою оцінкою математичного сподівання. Решта блоків формують величину корекції значення математичного сподівання з урахуванням можливого негауссівського характеру випадкового процесу, а саме асиметричності процесу. Шукане значення оцінки ˆ математичного сподівання знімається з виходу вихідного суматора 13, на який подаються груба лінійна оцінка a та дві величини (складові), що відповідно до формули (2) коректують оцінку, роблячи її більш точною з урахуванням можливої асиметричності процесу. Перша компенсуюча складова, що подається на суматор 13, дорівнює квадратному кореню, що обчислюється блоком 11, від суми, що о тримується на виході суматора 10, на входи якого подаються чотири складові. Перша складова підкореневого виразу, яка подається на вхід суматора 10 отримується з лінійної оцінки, яка підводиться до квадрату (подається на два входи перемножувача 7). Квадратична статистика, що обчислюється на виході блоку 5, інвертується блоком 8, і подається на другий вхід суматора 10. На третій та четвертий входи суматора 10 подають відповідно значення дисперсії випадкової величини та значення з виходу дільника 6, на перший вхід якого подають значення дисперсії, а на другий вхід подають квадрат значення коефіцієнта асиметрії, отриманого в блоці 3. Друга складова, що подається на суматор 13, формується з виходу дільника 6 після обчислення операції добування квадратного кореня в блоці 9 та інвертування цієї величини в блоці 12. Графік, наведений на Фіг.2, демонструє теоретичний виграш застосування запропонованого способу вимірювання математичного сподівання випадкового процесу у порівнянні з лінійною оцінкою. х(t) АЦП xv випадкового процесу; xv 1 x S Блок, що виконує дискретизацію (аналого-цифрове перетворення) безперервного n Блок, що обчислює середнє арифметичне дискретних числових значень, що поступають n ˆ 1 x = åx v n v =1 на його вхід (складається з суматора та пристрою нормування на об'єм вибірки); a c b Блок, що обчислює добуток двох числових значень а та b; с=а´b a c b Блок, що обчислює суму двох числових значень а та b; c=a+b ´ + a ¸ c b a b Блок, що виконує операцію ділення числа а на число b; c= a b c Блок, що виконує операцію піднесення числа а до ступеня b; c=ab a -1 -a Блок, що виконую операцію інвертування числа. Література 1. Мирский Г.Я. Электронные измерения. -М.: Радио и связь, 1986. -440с. (прототип).