Спосіб вимірювання частоти гармонічного сигналу

Спосіб вимірювання частоти гармонічного сигналу, який полягає у накопиченні суми квадра 2 (19) 1 3 утворили цей здвоєне значення, визначенні параметру гармонічного сигналу α , як відношення накопиченої суми добутків до накопиченої суми квадратів відліків, здійсненні нелінійного перетворення по закону арккосинуса зменшеного на двоє параметру гармонічного сигналу α та масштабування цього результату, обернено пропорційно значенню інтервалу часової дискретизації, збільшеному в 2π разів, що є виміряною частотою. Спільним ознаками прототипу та запропонованого способу є операції накопичення суми квадратів відліків сигналу, окрім двох крайніх, виміряних з постійним інтервалом дискретизації, утворення множини здвоєних значень, кожне з котрих є сумою двох вхідних відліків, розташованих один від одного на відстані двох інтервалів часової дискретизації, накопичення суми добутків кожного здвоєного значення з вхідним відліком, який знаходиться, за часом, між двома вхідними відліками, що утворили цей об'єднаний сигнал, здійснення нелінійного перетворення по закону арккосинуса зменшеного на двоє параметру гармонічного сигналу та масштабування цього результату, обернено пропорційно збільшеному в 2π разів значенню інтервалу часової дискретизації, що є виміряною частотою. Однак відомий спосіб має значні похибки вимірювання частоти гармонічного сигналу. В основу винаходу поставлено задачу створити прямий спосіб вимірювання частоти гармонічного сигналу шляхом застосуванням додаткових операцій обробки вхідних відліків, що забезпечить зменшення похибки вимірювання частоти гармонічного сигналу. Поставлена задача удосконалити винахід вирішується тим, що у способі вимірювання частоти гармонічного сигналу, який полягає у накопиченні суми квадратів відліків xk , k = 2, N − 1 , окрім першого та останнього, з вибірки, розміром N , вхідних , відліків xi, i = 1 N , виміряних із постійним інтервалом часової дискретизації τ , утворенні множини здвоєних значень, кожне з котрих є сумою двох вхідних відліків, розташованих один від одного на відстані двох інтервалів часової дискретизації, uk = xk −1 + xk +1, k = 2, N − 1 , накопиченні суми добутків кожного об'єднаного сигналу uk з вхідним відліком xk , який знаходиться, за часом, між двома вхідними відліками, що утворили цей об'єднаний сигнал, здійсненні нелінійного перетворення по закону арккосинуса зменшеного на двоє параметру гармонічного сигналу α та масштабування цього результату, обернено пропорційно збільшеному в 2π разів значенню інтервалу часової дискретизації, що є виміряною частотою, додатково накопичують суму квадратів усіх об'єднаних сигналів uk , k = 2, N − 1 , визначають нормований коефіцієнт накопичення В, як відношення різниці між накопиченою сумою квадратів об'єднаних сигналів та подвоєною накопиченою сумою квадратів відліків до подвоєної накопиченої суми добутків, а пара 41445 4 метр гармонічного сигналу визначають шляхом нелінійного перетворення нормованого коефіцієнту накопичення у залежності від діапазону вимірювання частот за правилом α = B ± B2 + 2 , причому, для вимірювання частот у межах від 0 до 1/ (4τ) Гц, де τ визначається в секундах, перед знаком квадратного кореню використовується операція додавання «+», у межах від 1/ (4τ) до 1/ (2τ) Гц використовується операція віднімання «». Сутність способу ґрунтується на наступних положеннях. Нехай гармонічний сигнал представляється дискретною послідовністю, розміром N з постійним інтервалом дискретизації τ , значень (1) si = A sin[2πfτ(i − 1) + ϕ0 ] , i = 1 N , із невідомими, але незмінними на інтервалі вимірювання параметрами: частотою f , амплітудою A та початковою фазою ϕ0 . Вхідні відліки сигналу (2) xi = si + ηi, i = 1 N , вимірюються в суміші з адитивною некорельованою центрованою гаусівською завадою ηi ; невідомої потужності σ2 . Вимірювання частоти здійснюється на підставі методу максимальної правдоподібності. Для цього використаємо лінійне перетворення, інваріантне до амплітуди та початкової фази гармонічного сигналу, у вигляді: (3) zi = xi+1 − αxi + xi−1, i = 2, N − 1 , Де α = 2 cos(2π / τ) (4) - параметр рекурентної форми представлення дискретного гармонічного сигналу: si+1 = αsi − si−1, i = 2, N − 1 . (5) Послідовність величин {zi } (3), із врахуванням виразів (2) та (5), можна записати як: zi = (si+1 − αsi + si−1 ) + (ηi+1 − αηi + ηi−1 ) = . = (ηi+1 − αηi + ηi−1 ),i = 2,N − 1 Тобто кожна величина zi , як сума центрованих гаусівських шумів, є гаусовською з нульовим математичним сподіванням та з дисперсією: ( ) (6) σ 2 = σ 2 + α 2σ 2 + σ 2 = σ 2 2 + α 2 . z У припущенні про незалежність усіх значень послідовності {zi } логарифм її багатовимірної функції правдоподібності (ФП) записується як: ( ) ln L z2,K, zN−1 α, σ = ln σ−(N−2 )(α ) z (2π) N−2 ∑i=2 zi2 (α ) N−1 − 2σ2 (α ) z Після диференціювання ФП за змінною α , прирівнювання результату до нуля та тотожних перетворень отримаємо одне з рівнянь правдоподібності: (N − 2)σ3 (α ) dσz (α ) + σ2 (α )∑ (α ) − σz (α ) dσz (α ) ∑ (α ) = 0 , (7) z z dα A dα B 5 де позначено: та 41445 N−1⎡ ∑ A (α ) = ∑i=2 ⎢zi (α ) ⎣ ∑B (α ) = ∑ N−1 2 z i= 2 i dzi (α ) ⎤ dα ⎥ ⎦ (α ) . Згідно з формулою дисперсії (6), запишемо наступні вирази: dσ (α ) σ z (α ) = σ 2 + α 2 , z = dα , dσ (α ) = σα / 2 + α 2 , σ z (α ) z = σ2α dα підставивши які у рівняння (7), перетворюємо останнє до виду: (N − 2)α(2 + α2 )σ2 + (2 + α2 )∑ A (α ) − α∑B (α ) = 0 . Якщо прийняти припущення про незначний рівень шумів та знехтувати, на підставі цього, у останньому рівнянні першим членом, то після тотожних перетворень отримаємо квадратне рівняння тільки з однією змінною α : α2 − 2Bα − 2 = 0 , де нормований коефіцієнт накопичення позначено як: N−1 ⎫ ⎧ N−1 ⎧N−1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ B = ⎨ ∑ (xi+1 + xi−1)2 − 2 ∑ xi2 ⎬ / ⎨2 ∑ (xi+1 + xi−1)xi ⎬ (8) ⎪ i= 2 ⎪ ⎪ i= 2 ⎪ i=2 ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ Це рівняння завжди має два дійсних корені: (+, α1,2− ) = B ± B2 + 2 , за одним із котрих αB , відповідно до формули (4), частота визначається як: f = (2πτ)−1 arccos(αB / 2) , а другий корінь повинен бути відкинутий. З метою визначення критерію вибору кореня підставимо у вираз (8) замість вхідних відліків {xi} відповідні значення гармонічного сигналу (1) без шуму, та після тригонометричних перетворень, позначивши γ = 2πfτ , отримаємо: ( ) B = 2 cos 2 γ − 1 / (2 cos γ ) . Підставимо цей вираз у формулу (8), тоді справедливо: (+, α1,2− ) = 2 cos2 γ − 1 2 cos2 γ + 1 . ± 2 cos γ 2 cos γ У випадку, коли частота, що вимірюється, знаходиться в межах від 0 до 1/ (4τ) Гц , де τ визначається в секундах, тобто 0< γ 0, вірним є корінь α(− ) = −1/ cos γ 2 ( αB = α1+ ) = 2 cos γ , а корінь - хибний (сигнал управляючого входу U пристрою має признак операції "+"); якщо знаходиться в межах від 1/ (4τ) до 1/ (2τ) Гц, тобто cos γ