Спосіб автоматизації виявлення діагностичної морфологічної ознаки електрокардіографічного сигналу

Спосіб автоматизації виявлення діагностичної морфологічної ознаки електрокардіографічного сигналу, який містить реєстрацію, оцифровування і виділення фазового інтервалу сигналу, який Винахід відноситься до медицини, а саме до кардіологи, і може бути використаний для автоматизованої комп'ютерної обробки результатів добового холтеровського електрокардіографічного (ЕКГ) моніторування з метою розширення функціональних можливостей приладу, що реєструє, (монітора) по виявленню (ідентифікації) діагностичних морфологічних (формотворних) ознак ЕКГсигнала, що мають важливе значення для диференційної діагностики серцево-судинних порушень ішемічного і неішемічного характеру (наприклад, вегетативної дисфункції, проявів систолічного перевантаження шлуночків, порушень електролітного балансу, глікозидної інтоксикації та ш ) Відомий спосіб автоматизації виявлення діагностичних ознак, реалізований у холтеровському моніторі "Ритм", який виробляється НТТ "Бета" (Україна, Кіровоград) У даному моніторі реалізується амплітудно-фазово-штервальний і інтервально-спектральний аналіз при визначенні ЧСС, порушень ритму (аритмій), зсувів (на початку і КІНЦІ ДІЛЯНКИ) ВІДНОСНО ІЗОЛІНІЇ І ЗМІН тривалості інтерва лів ST, тривалості і варіабельності RR-інтервалів Недоліком способу є неможливість автоматизованої ідентифікації морфологічних ознак ЕКГсигналу точок перегину (зламу), увігнутості, опуклості, загостреності, двохфазовості, нерівнобедреності, верхнього та нижнього кососходження та ш Відомий спосіб автоматизації виявлення діагностичних ознак, реалізований у холтеровських системах "АВР", "КардюСпектр", "HRV", "DiaCard", відрізняється тим, що ділянку сигналу в зазначеному інтервалі наближають мінімальнооптимальним економізованим багаточленом Чєбишева, і далі на підставі табличного зіставлення математичних морфологічних ознак багаточлена Чєбишева для даної ділянки сигналу і діагностичних морфологічних ознак роблять висновок про наявність тієї чи іншої діагностичної морфологічної ознаки електрокардіографічного сигналу вироблених AT "Сольвейг" (Україна, Київ, Webсторшка http //www solvaig kiev ua) У зазначених системах реалізований амплітуд но-фазовоштервальний і штервально-спектральний аналіз при визначенні ЧСС, порушень ритму (аритмій), зсувів (на початку і КІНЦІ ДІЛЯНКИ) ВІДНОСНО ІЗОЛІНІЇ інтервалу ST, тривалості інтервалів PQ, QR, ST, ТР, тривалості і варіабельності спектральних і часових показників RR-штервалів Спосіб має той самий недолік Відомий спосіб автоматизації виявлення діагностичних ознак, реалізований у холтеровському моніторі "МТ-100", виробленому фірмою "Shiller" (Швейцарія, Web-сторінка http //www schiller ru) У моніторі реалізований амплітуд но-фазовоштервальний і штервально-спектральний аналіз при визначенні трендів ЧСС і інтервалу ST, шаблонів QRS-комплексів, тривалості і варіабельності RR-штервалів Спосіб має той же недолік Відомий спосіб автоматизації виявлення діагностичних ознак, реалізований у холтеровських системах FD-"Oxford", вироблених Oxford Instruments Medical Systems Division (Великобританія, Абингдон) Системи реалізують амплітуднофазово-штервальний і штервально-спектральний аналіз при визначенні ЧСС, порушень ритму (аритмій), зсувів (на початку і КІНЦІ ДІЛЯНКИ) ВІДНОСНО ІЗОЛІНІЇ і змін тривалості інтервалів ST, тривалості і варіабельності RR-штервалів Спосіб теж має той же недолік Як прототип обраний відомий спосіб автома О ю 44150 тизаци виявлення діагностичних ознак ЕКГсигнала, реалізований у холтеровських моніторах "Кардиотехника-2000", "Кардиотехника-4000", "Кардиотехника-4000-АД", вироблених АТЗТ "Інститут кардіологічної техніки" (Росія, Санкт-Петербург, Web-сторінка http //www mcart spb ru) У зазначених приладах, що реалізують усі ВІДОМІ В сучасній кардіологи способи дослідження ДІЯЛЬНОСТІ серця при холтеровському монітору ванні, використовується амплітудно-фазово-штервальний і інтервально-спектральний аналіз при визначенні ЧСС, порушень ритму (аритмій), зсувів (на початку і КІНЦІ ДІЛЯНКИ) ВІДНОСНО ІЗОЛІНІЇ І ЗМІН тривалості інтерва лів ST, тривалості і варіабельності RR-інтервалів шляхом виявлення як тимчасових (SDNN, SDAN, RMSSD, pNN50 і ш), так і спектральних параметрів (ULF, LF, HF, HF/LFi ш ) Спосіб має аналогічний недолік В основу винаходу поставлена задача автоматизувати виявлення діагностично значущих ознак форми електрокардіографічного сигналу з метою розширення діагностичних можливостей холтеровського моніторування у відношенні диференційної діагностики серцево-судинних порушень ішемічного і неішемічного характеру Виконання поставленої задачі досягається тим, що об'єктивізація виявлення морфологічних ознак сигналу забезпечується шляхом заміни ВІДПОВІДНИХ ДІЛЯНОК сигналу їхніми математичними аналогами - мінімально-оптимальними економізованими багаточленами Чєбишева, після чого здійснюється зіставлення об'єктивних математичних морфологічних ознак багаточленів і якісних діагностичних морфологічних ознак Спосіб реалізується наступним чином ЕКГ-сигнал реєструють і оцифровують, тобто здійснюють аналого-цифрове перетворення з рівновіддаленими часовими (вузловими) значеннями В оцифрованому сигналі виділяють діагностичне значущі фазові інтервали (наприклад, ST), дослідження особливостей форми яких викликає зацікавленість Ділянки сигналу у виділених оцифрованих інтервалах піддають морфологічному аналізу, - для цього їх наближають мінімальнооптимальним економізованим багаточленом Чєбишева Обгрунтування використання даного наближення і його зміст викладені в приведеній нижче математичній методиці, придатній для реалізації у вигляді комп'ютерної програми, що автоматизує виявлення діагностичних морфологічних ознак Оскільки математичні методи аналізу форми функції, заданої аналітичне, добре розроблені, то основною проблемою аналізу форми оцифрованого в рівновіддалених вузлах сигналу є створення прикладної методики побудування для нього мінімально-оптимальної економізованої аналітичної залежності Спочатку варто розглянути деякі питання термінології Математичні засоби найпростішого аналітичного опису функції, заданої таблично, зокрема, у виді оцифрованого сигналу, добре ВІДОМІ - це інтерполяція поліномами Лагранжа і Ньютона Однак на практиці таке класичне рішення не є задовільним, - зазначені інтерполяційні поліноми гарантують збіг з дискретизованим сигналом лише в заданих точках, але зовсім не гарантують ВІДПОВІДНІСТЬ формі сигналу між ними Проте, варто нагадати основні положення, що стосуються побудови зазначених багаточленів, оскільки надалі у викладі використовується подібна методична термінологія і посилання Якщо ВІДОМІ значення оцифрованого сигналу (функції f(x)) у табличній формі, Таблиця 1 Таблична форма представлення оцифрованого сигналу X Х1 Хо Хп f(x) Уо Уп Уі то класична задача інтерполяції вимагає побудування значення функції f(x) для такого значення аргументу х, що входить у відрізок [хо, х п ], але не збігається з жодним зі значень х, (і = 0, 1, п) У розглянутому випадку фіксовані значення х, є рівновіддаленими (Берри Р Я , Жабин И А , Норкин С Б и др Элементы вычислительной математики - М Высшая школа, 1960 - 1 6 6 с , Волков Е А Численные методы Учеб пособие - М Наука, 1982 - 256 с , Заварыкин В М , Житомирский В Г , Лапчик М П Численные методы Учеб пособие для студентов физ -мат спец пед ин-тов - М Просвещение, 1990 - 1 7 6 с , Зиновьев А Л , Филиппов Л И Методы аналитического выражения радиосигналов - М Высшая школа, 1966 - 104 с , Копченова Н В , Марон И А Вычислительная математика в примерах и задачах - М Наука, 1972 - 3 6 8 с, Хемминг Р В Численные методы для научных работников и инженеров - М Наука, 1972 - 400 с) Оскільки через вузлові точки можна провести необмежену КІЛЬКІСТЬ кривих, то звичайно задаються додатковими умовами на вид функції f(x), що визначають одиничність її існування Однією з найпростіших можливостей, але не єдиною, є побудова f(x) у виді статечного багаточлена - полінома Рп(х), що приймає в заданих точках х, задані (табличні) значення у Цей випадок вибору виду функції відповідає виду оцифрованого сигналу Інтерполяційний багаточлен, у найпростішому випадку, можна шукати у виді атх (1) Через те, що крива повинна проходити через задані точки, то (2) Ця система п + 1 ЛІНІЙНИХ алгебраїчних рів 44150 нянь є вихідної для знаходження коефіцієнтів а, схемою прийдеться виконувати заново При простатечного ряду (1) за заданим значенням х, і у грамуванні зручніше користатися для інтерполяції Визначник даної системи, рядки якого складені з поліномами Ньютона набору чисел X, ступенів, що підвищуються, відноІнтерполяційна формула Ньютона являє соситься до класу так званих визначників Вандермобою просто іншу форму запису того ж інтерполянда Він не дорівнює нулю, якщо в ньому немає ційного багаточлена для випадку, коли вузли є двох рівних елементів X, і X, (I^J) Така система, як рівновіддаленими Такий багаточлен виражається відомо (Ван дер Варден Б Л Алгебра - М Наука, не через значення функції, а через и різниці Його 1979 - 624 с), має єдине рішення (п + 1 чисел ао, використання дозволяє змінювати число вузлів а-і, , ап) при m = n Отже, шуканий багаточлен інтерполяції без повторення всього обчислення У визначається однозначно, якщо його ступінь на 1 цьому випадку потрібно тільки додати чи відкинути менше числа заданих крапок - вузлів інтерполяції відповідне число стандартних доданків Пошук інтерполяційного багаточлена у виді (1) РІЗНИЦІ МІЖ значеннями функції в сусідніх вузприводить до побудови так називаного полінома лах інтерполяції (кінцеві різниці першого порядку) Лагранжа Полином Лагранжа може бути побудовизначаються співвідношенням ваний при кожному (довільному) розташуванні кУг=Уг+1-Уг 0 = 0, ,П-1) (3) вузлів інтерполяції У цього багаточлена має місце явна залежність від кожного значення функції Та(для п + 1 точки КІЛЬКІСТЬ Ду, дорівнює п) Кінким чином, якщо буде потрібно для поліпшення цеві різниці першого порядку утворюють кінцеві наближення підвищити число вузлів, а значить і різниці другого порядку ступінь полінома, то всю побудову за приведеною Д2У, = А у І + і - А у , = (у,+2 - У#+1)- (Уі+1 - Уі ) = 0 = 0, , п - 2) (4) (для п + 1 точки КІЛЬКІСТЬ Д у дорівнює п - 1) і т д Методом математичної індукції доводиться загальне співвідношення, що зв'язує кінцеву різницю k-го порядку зі значеннями функції у вузлах інтерполяції , п - к) 1=0 (для п + 1 точки КІЛЬКІСТЬ Д у дорівнює п + 1 - к) У співвідношення (5) входить число сполучень (5) (6) Шуканий багаточлен (1) може бути представлений у формі, відмінної від колишньої, але власне кажучи еквівалентної Рп(х)=Ь0 + Ь 1 (х-х 0 )+Ь 2 (х-х 0 Хх-х 1 )+ + Ьп(х - хо\х - х-,) п\ (х-хп_^ Така форма запису пов'язана зі згадуваною особливістю ПОЛІНОМІВ Ньютона кожен доданок повинний як би відповідати додаванню нового вузла, забезпечуючи підвищення ступеня полінома на одиницю Очевидно, що це багаточлен ступеня п, у якому коефіцієнти Ь, (і = 0, , п) можна знайти зі співвідношень у2 = bo + Ь,(х- хо)+ Ь,(х- х о )(х- х,), у п = Ь0 + Ь ] (х-х 0 )+^(х-х 0 )(х-х 1 )+ (8) +Ь п (х-х 0 )(х-х 1 ) (х-хп_,) ПОСЛІДОВНІ обчислення приводять до наступного співвідношення для коефіцієнтів, де h - фіксована відстань між вузлами Ьо = Уо> А2у0 2І/72 " n\hn Після підстановки коефіцієнтів (9) шуканий багаточлен (7) здобуває вид полінома Ньютона (9) 44150 (10) n n\h Зовні цей поліном не схожий на поліном Лагранжа Однак, якщо поліноми побудовані для однієї і тієї ж функції й однієї і тієї ж системи вузлів, то, у силу одиничності рішення інтерполяційної задачі, вони повинні бути тотожно рівні між собою У цьому можна переконатися, якщо у вираженні (10) розкрити дужки шляхом перемножування і згрупувати подібні члени, тобто якщо привести поліном Ньютона до виду (1), - коефіцієнти обох ПОЛІНОМІВ збіжаться в межах точності їхнього об числення Через те, що коефіцієнти полінома (10) визначаються через значення функції і різниць у самому лівому вузлі інтерполяції, то цей поліном є формулою Ньютона для інтерполяції вперед Рівноцінна формула, де коефіцієнти полінома визначаються за допомогою правих вузлів, є формулою Ньютона для інтерполяції назад Висновок цієї формули аналогічний, однак замість представлення (7) використовується інша форма (11) Після повторення попередніх міркувань одержуємо в остаточному виді (12) А я Уо ЛІ/?" х-хп){х-х _і п ПОСЛІДОВНІ підстановки ( х - хо) / h = 11 (х - x n ) / h = t приводять формули (10) і (12) до більш зручного для розрахунків виду (13) (14) Хоча співвідношення (13) і (14) тотожні, однак на практиці для інтерполяції на початку заданого відрізка використовують формулу (13), а ближче до його кінця - (14) Немаловажне значення мають і рекомендації загального характеру, що дозволяють мінімізувати погрішність обчислення за допомогою ПОЛІНОМІВ Помилка обчислення завжди мінімальна для значень аргументу, що лежать у середині інтервалу між вузлами Тому, якщо значення аргументу знаходиться ближче до середини між двох вузлів, вигідно взяти парне число вузлів рівна КІЛЬКІСТЬ вузлів ліворуч і праворуч від значення Якщо ж значення близьке до одного з вузлових значень, то варто використовувати непарне число вузлів один вузол - поруч і по рівній КІЛЬКОСТІ вузлів праворуч і ліворуч Очевидно, що при обчисленнях можна зневажити членами, у яких ВІДПОВІДНІ кінцеві різниці рівні чи близькі до нуля По виду ділянки сигналу ЕКГ нічого не можна сказати заздалегідь, природно, про аналітичну форму його інтерполяційного представлення Тому для оцінки точності інтерполяції не застосовні методи, засновані на вираженні залишкового члена через ПОХІДНІ шуканої функції Для емпірично заданих функцій оцінка точності інтерполяції може бути здійснена за допомогою додаткового вузла Нехай відоме значення функції в додатковому вузлі х п +1, що не використовується в інтерполяції (як такий вузол можна прийняти і кінцевий вузол інтерполяції хп, однак при цьому його варто виключити з розгляду - відкинути) За інтерполяційною схемою Ньютона наявність додаткового вузла приводить до додавання нового члена в СПІВВІД (15) t{t-\\..\t-n An+Vo (16) 44150 Модулі цих членів і можуть бути використані в якості наближеної оцінки залишкового члена для першої і другої формул Ньютона Доказ цього факту відомо, - воно грунтується на твердженні проте, що модуль залишку полінома Ньютона не перевершує модуля останнього члена, що залишився На остаточну погрішність інтерполяції, зрозуміло, впливає й обчислювальна погрішність, але комп'ютерний розрахунок з великим числом розрядів мінімізує значення цього фактора Особливість машинного розрахунку припускає лише, з метою мінімізації помилки обчислення і профілактики можливого переповнення регістрів, представлення вихідних даних у нормованому виді (|у| s 1, | | s 1) (під нормуванням мається на увазі привеХ| дення даних до модуля їхнього максимального значення, тобто ділення даних на зазначений модуль) Але рішення задачі про оптимізацію помилок наближень усе-таки суперечить зазначеним методами Лагранжа і Ньютона Це протиріччя, як відзначалося, полягає в принциповій невідповідності ПОЛІНОМІВ Лагранжа і Ньютона поводженню (формі) функції, що наближається, в інтервалах між вузлами, - чим вище ступінь зазначених ПОЛІНОМІВ (ступінь однозначно визначається КІЛЬКІСТЮ вузлів), тим більше небажаних "вигинів" вони роблять Помилка наближення може бути зведена практично до нуля при використанні методу кусочно-поліноміальної інтерполяції сплайнами, який застосовується у випадку великої КІЛЬКОСТІ вузлів Сплайн, по визначенню, є алгебраїчним багаточленом малого ступеня, визначеним на деякому локальному відрізку загальної ділянки інтерполяції, неперервним, разом зі своєї похідної, усередині локального відрізка і на його границях Однак сплайнова інтерполяція є, скоріше, іншою крайністю в задачі дослідження форми оцифрованого сигналу, що розглядається При дослідженні форми не завжди досконалого сигналу, що містить надлишкові деталі ("зазублини", "тремор" та ш), занадто висока ступінь деталізації може утруднити ідентифікацію основних ознак Крім того, раціональна розбивка ділянки інтерполяції на локальні відрізки, сама по собі, уже вимагає апріорних знань про сигнал, що досліджується, - у цьому також полягає протиріччя ВІДОМІ методи мінімізації помилок наближення узагальнено підрозділяються на два напрямки Перший - наближення найменших квадратів відхилень - зменшує середню квадратичну помилку, допускаючи при цьому окремі ІСТОТНІ відхилення (викиди) Математичною основою цього напрямку є метод найменших квадратів, що вимагає попереднього знання аналітичного виду залежності, що наближається Другий напрямок - найкраще рівномірне наближення - реалізує "принцип мінімакса", мінімізуючи максимальне відхилення - екстремальну помилку, допускаючи, проте, трохи більше середньоквадратичне відхилення Основним математичним методом при цьому є наближення інтерполяційним поліномом Чєбишева, - саме його "мінімаксний" характер найбільше відповідає характеру задачі наближення форми оцифрованого сигналу Обоє напрямки родинні і можуть бути об'єднані в рамках єдиного підходу якщо припустити, що мінімізується деяка функція 1=0 то для k = 2 маємо метод найменших квадратів, а для k = °° - метод Чєбишева Додатковим доводом для використання методу Чєбишева в розглянутій тут задачі є те, що цей метод дозволяє ще й економізувати статечні ряди Зокрема, статечний ряд Ньютона, що містить велике число членів, будучи перетворений у чєбишевське розкладання, дає наближення значно меншого ступеня, що є для цілей практичного (комп'ютерного) використання дуже зручною обставиною Статечні ряди Ньютона (13), (14) можуть бути перетворені до виду (1), тобто до класичного виду статечного ряду Оскільки спосіб обчислення кінцевих різниць Дку, не викликає утруднень (визначається співвідношеннями (5) і (6)), то основною проблемою залишаються перетворення виражень виду t(t -1) (t - n + 1) Зручно ввести позначення (18) 1 (n = 0) Це так називані факторіальні багаточлени Задача перетворення полягає у встановленні співвідношення між t(n) і ступенями Ґ, тобто у встановленні залежності n S{n,n)t Коефіцієнти співвідношення, записані у формі S(n,i), є числами Стирлінга першого роду Вони не мають для свого обчислення простої формули, однак для них можна знайти рекурентне, придатне (17) mm, Рішення варто шукати по шляху побудови розрахункової методики, придатної для реалізації засобами програмування, знаходження оптимальної по ступені наближення й у той же час економізованої - з мінімальною КІЛЬКІСТЮ членів - "згладженої" аналітичної залежності, для побудови якої не вимагаються апріорні знання про характер досліджуваного сигналу Y.S{n,i)t' 10 (19) для комп ютерного розрахунку, співвідношення Таблиця коефіцієнтів для декількох початкових значень п розкладання (19) має вид 11 44150 12 Таблиця 2 4.1ПІ n 0 1 2 3 1 t t(t-1) t(t-1)(t-2) = f = t' = - t ' + = 2t' - 2 Числа Стирлінга першого роду С S(n,0) 3(п,1) 1 0 1 0 -1 0 2 S(n,2) S(n,3) 1 -3 1 З таблиці очевидні наступні властивості коефіцієнтів (20) S(n,0)=0 S(n,n)=1 А загальне рекурентне співвідношення для коефіцієнтів, виділених у таблиці подвійною ЛІНІЄЮ, можна знайти шляхом наступних перетворень З (18) випливає (21) ВІДПОВІДНО ДО (19), маємо, Z S{n + \i)t' =(t-n)zS{n,iy = z{tS{n,i)-nS{n,i)y = (22) Для першої суми, з урахуванням заміни і + 1 = j (23) J=2 З огляду на властивості (20) і роблячи просто заміну] на і у (23), одержуємо (24) Тоді (25) чи (26) і=і Остаточно п j:{s{n,i-j\)-n{n,i)y (27) Рекурентне співвідношення, що дає можливість знаходити числа Стирлінга послідовно, знаходять прирівнюванням коефіцієнтів у співвідношенні (27) \i)=S{n,i--\)-n{n,i) (28) Тепер, перш ніж здійснити перетворення багаточленів Ньютона (13), (14) у багато член Чєбишева, варто розглянути деякі його властивості 13 44150 Багаточлени Чєбишева Tn(z) є частковим ви падком ультрасферичних багаточленів і багаточленів Якобі Вони були отримані при рішенні задачі про знаходження серед усіх багаточленів ступеня п, що мають старший коефіцієнт, тобто коефіцієнт при старшому ступені, рівним 1, такого, модуль якого в інтервалі z [-1, 1] був би МІНІTn(z)= 14 мальним Розкладання по поліномах Чєбишева еквівалентно розкладанню в ряд по косинусах кратних дуг (cos(n9)), тобто фактично в ряд Фур'є Однак таке розкладання доповнено простим перетворенням перемінної 6 cos(/7©)= cos(/7 arccosz) (29) тобто Э = arccos z Оскільки диференціали перемінних Э і z зв'язані співвідношенням (ЗО) то розкладання Чєбишева може розглядатися як розкладання Фур'є з вагою Розкладання Фур'є є ортогональним, тобто ортогональним є і розкладання Чєбишева, наслідком чого є можливість його представлення у виді тричленного рекурентного співвідношення Для цього досить розглянути очевидну ТОТОЖНІСТЬ ДЛЯ П £ 1 i)©)+cos((n-i)©)=2cos©cos(n©) (31) З (29) і (31) випливає легко рекурентне співвідношення, що легко програмується rn+1(z)=2zfn(z)-rn_1(z) Як відомо, існує й аналітична формула для обчислення значень багаточленів Чєбишева Однак у даній методиці перевага віддається все ж таки рекурентному співвідношенню Цьому є своє пояснення Значення багаточленів Tn(z) Чєбише I) (32) ва при будь-якому п обмежені на відрізку [-1, 1] по модулю одиницею 3 іншого боку, спостерігається досить швидкий ріст коефіцієнтів цих багаточленів з ростом п У табл 3 приведені перші послідовно обчислені поліноми Чєбишева Таблиця З п 0 1 1 Z Поліноми Чєбишева мінімально-оптимального наближення 2 3 4 5 2z 1 -1 At1 - 3z 8z4 - 8z^ + 1 16zD -20г" + 5z Як видно з таблиці, старший коефіцієнт багаточлена Tn(z) при п £ 1 дорівнює 2П Це приводить до того, що обчислення значень багаточленів, наприклад за схемою Горнера, на реальному комп'ютері, що має обмеження на число цифрових розрядів, відбувається при великих п зі значною втратою точності Утрата точності викликається необхідністю вирахування близьких, великих по модулю, округлених чисел, при тому 2 (33) n Саме поліноми Чєбишева у формі (33) найменш, у порівнянні з іншими багаточленами, відхиляються від нуля на відрізку z [-1,1], вирішуючи задачу "мінімакса" - найкращого рівномірного max що остаточний результат по модулю не перевершує одиницю Використання ж рекурентної формули (32) дозволяє обійти ці труднощі, - в обчисленнях по цій формулі великі величини не приймають участі В обчисленнях за схемою Горнера багаточленів Tn(z) вплив погрішності округлення з ростом п значно сильніше Поліноми Чєбишева з одиничним старшим коефіцієнтом визначаються формулою _\_ 2n наближення у виді статечного ряду функції, що має аналітичне представлення Максимальне відхилення при цьому задовольняє співвідношенню (34) 15 44150 Ідея економізації статечних рядів шляхом використання чєбишевських багаточленів належить в основному Ланцошу (Ланцош Практические методы прикладного анализа - М Физматгиз, 1961 ) Сама можливість економизацм (зменшення КІЛЬКОСТІ членів розкладання) тісно пов'язана з властивістю багаточлена Чєбишева забезпечувати найкраще рівномірне наближення Таке перетворення має наступні особливості Багаточлени Ньютона (13), (14), як було показано, можуть бути приведені до класичного виду статечного багаточлена (1), що, у свою чергу, може бути економізований шляхом перетво 16 рення в розкладання по багаточленах Чєбишева Оскільки багаточлени Чєбишева визначені в інтервалі [-1, 1], то перед виконанням перетворення варто визначити зазначений класичний багаточлен на даному інтервалі шляхом відповідної заміни перемінної Наприклад, у випадку інтерполяції на довільному відрізку х [а, Ь], ЛІНІЙНОЮ заміною незалежної перемінної х = 1 / 2((b - a)v + b + а) він переводиться в область v [-1, 1] Далі процес зводиться до послідовного перетворення ступенів нової перемінної v до багаточленів Чєбишева шляхом підстановки v = cos © (35) Така підстановка означає, фактично, перехід до нерівномірного завдання вузлів інтерполяції (густіше - до країв, рідше - до середини), що оптимізує ступінь наближення досліджуваної функції, - у цьому суть "мінімаксного" наближення Чєбишева ПОСЛІДОВНІ перетворення такі 3 теорії комплексних чисел відомо наступне представлення (Математическая энциклопедия Гл ред И М Виноградов, в 5 т - М Советская Энциклопедия, 1977-1985) "'0 cos© = (36) де і - мнима одиниця Тоді є +є (37) Використовуючи властивості розкладання ступеня бінома, [a + bj =Cna +Cna b+...+ Cna b +...+ П Сn и Cn b (38) (39) -л , (40) маемо, jVn ,-//(© ,т& (41) Після додавання ряду (41) з таким же поруч, підсумовування в правій частині робиться в зворотному порядку (перший член з останнім і т д ) , маємо, з обліком (39), (40), у припущенні, що m - парне число = 2С°т(е + e-|me °(еіт& (42) (сума містить m / 2 + 1 членів) Якщо m - непарне число, то ?LI& + Р - Й Т - ?Г° ( р ; т 0 + р - ; т 0 V ОС "'0 (43) (сума містить ( т + 1) / 2 членів) Послідовна підстановка (42) і (43) з обліком (36) у (37) приводить до співвідношень 17 18 44150 m v = (44) де m - парне число (сума містить m / 2 + 1 членів), v т = - ^ (С% cos т® + С^ cos(m - 2)© + (45) cos3@ + 2 cos@) де m - непарне число (сума містить ( т + 1) / 2 членів) Чи остаточно ClTm_2(v >m/2 (46) де m - парне число (сума містить m / 2 + 1 членів), (47) де m - непарне число (сума містить (m + 1) / 2 членів) У наступній таблиці приведені вираження для декількох послідовних ступенів перемінної Таблиця 4 Перетворення ступенів перемінної класичного багаточлена у розкладанні по багаточленах Чєбишева v"1 m 0 To(v) 1 Ti(v) 2 1 / 2 (T0(v) + T2(v)) 3 1/4(3T!(v) + T3(v)) 4 1 / 8 (3T0(v) + 4T2(v) + Tz (v)) 5 1/16 (10Ti(v) + 5T3(v) + Ts(v)) Співвідношеннями (46), (47) процес перетворення класичного багаточлена практично закінчується Нехай у результаті отримане наступне розкладання по багаточленах Чєбишева (48) Це розкладання є, як було відзначено, розкладанням по ортогональних багаточленах Для широкого класу функцій розкладання по чєбишевським багаточленам (48) сходиться багато швидше, ніж по будь - якій ІНШІЙ системі ортогональних багаточленів Таким чином, коефіцієнти Ск у (48) убувають багато швидше, ніж для будьякого іншого ряду, що описує ту ж залежність, а для опису залежності з заданим ступенем точності може бути використаний багаточлен у формі (48) найменшого ступеня Члени ряду (48), не перевищуючу припустиму погрішність, при обчисленні відкидаються Ряд, що залишився, може бути знову перетворений у розкладання по ступенях незалежної перемінної v, ВІДПОВІДНО ДО табл 3 Саме цей ряд і може розглядатися в якості мінімально-оптимальної економізованої аналі тичної залежності шуканої функції У завершення морфологічного аналізу ділянки ЕКГ-сигнала проводять табличне зіставлення (табл 5) математичних морфологічних ознак обчисленого багаточлена Чєбишева з діагностичними морфологічними ознаками, на підставі чого і робиться автоматизований диференційований діагностичний висновок Дана таблиця, у частині прикладів діагностичного тлумачення ознак, може бути істотно розширена, - різноманітні ЕКГознаки, систематизовані на основі великих статистичних і клініко-електрокардюграфічних досліджень, зібрані у виді класифікації Міннесотського коду, неодноразово модифікованої в серії монографій ВООЗ (Ионеску В Сердечно-сосудистые расстройства на грани между нормой и патологией -Бухарест, 1973 - С 155-192) 19 44150 20 Таблиця 5 Порівняльна таблиця морфологічних математичних і діагностичних ознак (Скорочення Ch - багаточлен Чєбишева, Ch' - перша похідна багаточлена, Ch" - друга похідна багаточлена) Морфологічна математична ознака Морфологічна діагностична Приклад діагностичного тлумачення Сп ознака ознаки Зиявлення положення J-точки інтерваПоложення точки перегину Положення максимуму модуля Сп" лу ST при синдромі передчасної чи (зламу) ранньої реполяризацм шлуночків Наявність у Сп лише однієї екстреЗиявлення увігнутості інтервалу ST при мальної (Сп' = 0) мінімальної (Сп' 0 праворуч) точки ляризацм шлуночків Наявність у Сп лише однієї екстреЗиявлення опуклості сегмента ST при мальної (Ch = 0) максимальної (Сп' > Опуклість перикардиті чи інфаркті міокарду 0 ліворуч, Ch' 0 в першій крапці Ch1 = 0, Ch 0 або Ch' < 0, відсутність зміВерхнє або нижнє кососхо- Характеристика сегмента ST у нормі і нення знака Ch' дження при ішемії міокарду Прикладом конкретного застосування винаходу може служити наближення мінімальнооптимальним економізованим багаточленом Чєбишева ділянки ЕКГ-сигнала інтервалу ST, що містить J-точку, наявність якої ідентифікує синдром передчасної чи ранньої реполяризацм шлуночків (Дощицын В Л Практическая электрокардиография - М Медицина, 1987, 336 с ) Синдром відноситься до порівняно рідких варіантів нормальної ЕКГ Синдром спостерігається переважно у хворих на нейро-циркуляторну дистонію і нерідко викликає складності в диференЦІЙНІЙ діагностиці з ішемічними змінами Головною його ознакою вважають підйом сегмента ST, що здобуває своєрідну форму увігнутої дуги і починається з високо розташованої точки J на спадній частині зубця R чи на кінцевій частині зубця S Формотворний злам (перегин) у МІСЦІ переходу комплексу QRS у спадний сегмент ST (точка J) і є предметом аналізу На фіг точка J, високо розташована на кінцевій частині зубця S, служить початком піднятої и увігнутої дуги сегмента ST Комп'ютерне обчислення багаточлена Чєбишева, що наближає розглянуту ділянку сигналу, виконувалося з метою визначення положення (ідентифікації) точки J Локальна вісь ординат відповідала вершині зубця S, ціна розподілу складала 1мм = 0,1 мВ Вісь абсцис, з ціною розподілу 1мм = 0,02с, була обрана такою, що співпадає з ІЗОЛІНІЄЮ, на 1мм оцифровувалось 4 рівновіддалених вузли, в інтерполяційній схемі брало участь 20 точок (у діапазоні 0с - 0,095с) Ідентифікація J-точки здійснювалася по максимуму модуля другої похідної мінімальнооптимального економізованого багаточлена Чєбишева, що відповідає найбільшій локальній ЗМІНІ кута нахилу дотичної до досліджуваної кривої, тобто крапці перегину (зламу) 3 метою досягнення найкращого розрахункового наближення використовувався багаточлен найбільшого ступеня, - його характеристики приведені в табл 6 Таблиця 6 Параметри багаточлена Чєбишева найкращого наближення ділянки ST ЕКГ-сигнала, що містить J-точку Ступінь незалежної пере№ члена розкладання Значення коефіцієнта Порядок коефіцієнта мінної 1 (вільний член) -0,900031074 0 0 2 0,784288855 4 1 3 -0,534145702 7 2 4 0,162610267 10 3 5 -0,291612026 12 4 6 0,346829707 14 5 7 -0,291999913 16 6 8 0,18121303 18 7 9 -0,851315964 19 8 44150 21 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 0,308116796 - 0,868567743 0,191738855 -0,331563611 0,446847898 -0,463937612 0,363583601 -0,207870181 0,817633213 -0,197703672 0,221429554 21 22 24 25 26 27 28 29 29 ЗО ЗО При використанні зазначеного багаточлена помилка ідентифікації положення J-точки (з абсцисою 0,02с) складала менш 1% Стійка інтерполяція здійснювалася і при скороченні КІЛЬКОСТІ вузлів, аж до 14 Результатом ідентифікації точки J і порівняльного табличного аналізу є автоматизований висновок про можливість наявності синдрому передчасної (ранньої) реполяризації шлуночків Т 1 * м 1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Мі В......Т Ш. II 11 R 1 IS ДП «Український інститут промислової власності» (Укрпатент) вул Сім'ї Хохлових, 15, м Київ, 04119, Україна (044) 456 - 20 - 90