Спосіб вимірювання математичного сподівання випадкового процесу

Спосіб вимірювання математичного сподівання випадкового процесу, що складається з подачі випадкового процесу на аналого-цифровий перетворювач, що здійснює дискретизацію неперервного випадкового процесу, після чого дискретні числові значення подаються на два входи перемножувача (квадратора), на виході якого отримують квадрати вибіркових значень випадкового процесу, які подають на пристрій усереднення вибіркових значень, з виходу якого арифметичне середнє квадратів числових значень інвертується інвертором та подається на один з чотирьох входів суматора, на другий вхід якого подається величина з виходу першого додаткового перемножувача, на два входи якого подається арифметичне середнє числових значень, яке отримується, на виході додатково встановленого пристрою для усереднення, на вхід якого подаються вибіркові значення з виходу аналого-цифрового перетворювача, а на третій вхід суматора подається значення дисперсії випадкової величини, яке одночасно подається на дільник, де його розділяють на величину, отриману з виходу другого додаткового перемножувача, на два входи якого подається значення коефіцієнта асиметрії, при цьому величина з виходу суматора подається на вхід блоку зведення в ступінь, а вихідна величина, що дорівнює квадратному кореню від вхідної величини, подається на один з трьох входів вихідного суматора, на інші входи якого подають арифметичне середнє числових значень та величину, з якої добувають квадратний корінь в додатковому блоці зведення в ступінь та інвертують отримане значення додатковим інвертором, який відрізняється тим, що величина, яка одночасно подається на четвертий вхід суматора і на вхід додаткового блоку зведення в ступінь обчислюється на виході третього додаткового перемножувача, на один з входів якого подається величина з виходу дільника, а на другий вхід подається квадрат значення корегуючого множника, отриманий з виходу четвертого додаткового перемножувача, на два входи якого подається значення, сформоване на виході додаткового дільника, на один вхід якого подається константа 2, де на неї розділяють величину, отриману з виходу додаткового суматора, призначеного для підсумовування значень константи 2 і коефіцієнта ексцесу. Запропонований спосіб відноситься до обчислювальної техніки і може бути використаний для вимірювання математичного сподівання стаціонарних негауссівських випадкових процесів та застосовуватись в інформаційно-вимірювальних системах радіотехніки, автоматичного управління та інш. Відомий спосіб вимірювання математичного сподівання випадкового процесу, що наведено в роботі [1, 269], складається з подачі випадкового процесу на аналого-цифровий перетворювач (АЦП), що здійснює дискретизацію неперервного випадкового процесу, після чого однаково розподілені некорельовані дискретні числові значення подаються на вхід пристрою для усереднення, який обчислює арифметичне середнє числових значень, що поступають на його вхід, з отриман ням результату значення оцінки математичного сподівання на його виході. Необхідною умовою застосування даного способу є одержання в результаті дискретизації неперервного випадкового процесу на виході АЦП послідовності (вибірки) однаково розподілених некорельованих випадкових чисел (величин). Для цього частота дискретизації повинна вибиратися таким чином, щоб період дискретизації перевищував максимальний інтервал кореляції досліджуваного випадкового процесу [1]. Однак у відомому способі при відмінності закону розподілу ймовірностей випадкового процесу від гауссівського точність вимірювання математичного сподівання виявляється досить незначною. Найбільш близьким до запропонованого є спосіб вимірювання математичного сподівання випад О) 10107 кового процесу [2], що містить аналого-цифровий перетворювач, що здійснює дискретизацію вхідного неперервного випадкового процесу, після чого дискретні числові значення подаються на два входи перемножувача (квадратора), на виході якого отримують квадрати вибіркових значень випадкового процесу, які подають на додатково встановлений пристрій усереднення вибіркових значень, з виходу якого арифметичне середнє квадратів числових значень інвертується інвертором та подається на один з чотирьох входів суматора, на другий вхід якого подається значення дисперсії випадкової величини, яке одночасно подається на дільник, де його розділяють на величину, отриману з виходу додаткового перемножувача, на два входи якого подається значення коефіцієнту асиметрії, при цьому вихід дільника з'єднаний з третім входом суматора, а на четвертий вхід подається величина з виходу другого додаткового перемножувача, на два входи якого подається арифметичне середнє числових значень, яке отримується, на виході пристрою для усереднення, на вхід якого подаються вибіркові значення з виходу аналогоцифрового перетворювача, після чого величина з виходу суматора подається на вхід блоку зведення в ступінь, а вихідна величина, що дорівнює квадратному кореню від вхідної величини, подається на один з трьох входів вихідного суматора, на інші входи якого подають арифметичне середнє числових значень та величину, яка формується з виходу дільника після обчислення операції добування квадратного кореня в додатковому блоці зведення в ступінь та інвертування цієї величини додатковим інвертором. Проте такий спосіб вимірювання математичного сподівання випадкового процесу враховує лише "кособокість" густини ймовірностей, яка описується коефіцієнтом асиметрії у 3 , і зовсім не враховує "гостровершинність" розподілу, яка описується коефіцієнтом ексцесу у 4 [3, 108]. Задача корисної моделі - підвищити точність способу вимірювання математичного сподівання випадкового процесу за рахунок врахування коефіцієнта ексцесу у 4 . Це досягається тим, що випадковий процес подається на аналого-цифровий перетворювач, що здійснює дискретизацію неперервного випадкового процесу, після чого дискретні числові значення подаються на два входи перемножувача (квадратора), на виході якого отримують квадрати вибіркових значень випадкового процесу, які подають на пристрій усереднення вибіркових значень, з виходу якого арифметичне середнє квадратів числових значень інвертується інвертором та подається на один з чотирьох входів суматора, на другий вхід якого подається величина з виходу першого додаткового перемножувача, на два входи якого подається арифметичне середнє числових значень, яке отримується, на виході додатково встановленого пристрою для усереднення, на вхід якого подаються вибіркові значення з виходу аналогоцифрового перетворювача, а на третій вхід суматора подається значення дисперсії випадкової величини, яке одночасно подається на дільник, де його розділяють на величину, отриману з виходу другого додаткового перемножувача, на два входи якого подається значення коефіцієнту асиметрії, при цьому величина з виходу суматора подається на вхід блоку зведення в ступінь, а вихідна величина, що дорівнює квадратному кореню від вхідної величини, подається на один з трьох входів вихідного суматора, на інші входи якого подають арифметичне середнє числових значень та величину, яка формується після обчислення операції добування квадратного кореня в додатковому блоці зведення в ступінь та інвертування цього значення додатковим інвертором з величини, яка згідно корисної моделі, одночасно з цим подається на четвертий вхід суматора, а обчислюється на виході третього додаткового перемножувача, на один з входів якого подається величина з виходу дільника, а на другий вхід подається квадрат значення корегуючого множника, отриманий з виходу четвертого додаткового перемножувача, на два входи якого подається значення, сформоване на виході додаткового дільника, на один вхід якого подається константа 2, де на неї розділяють величину, отриману з виходу додаткового суматора, призначеного для підсумовування значень константи 2 і коефіцієнту ексцесу. Застосування запропонованого способу не базується на конкретному законі розподілу ймовірностей випадкового процесу, що аналізується. Використовуються більш прості статистичні характеристики, такі як математичне сподівання дисперсія кг, коефіцієнти асиметрії Уз й ексцесу у 4 . Саме відмінність двох останніх від нульового значення характеризує степінь відхилення будьякого випадкового процесу від гауссівської моделі. Найбільш поширена оцінка, що належить до класу лінійних незсунутих оцінок, отримується як арифметичне середнє вибіркових значень та обчислюється за формулою (1) v=1 де п - об'єм вибірки; xv, v = 1,n - вибіркові значення. Проте така оцінка є досить грубою і при значній степені відмінності закону розподілу ймовірностей від гауссівського, її дисперсія буде далекою від ефективної. Відповідно точність вимірювання буде низькою. Для підвищення точності вимірювання математичного сподівання в [2] пропонувалось ввести ряд додаткових лінійних і нелінійних перетворень над вибірковими значеннями і використовувати додаткову апріорну інформацію про дисперсію і коефіцієнт асиметрії випадкової послідовності, а саму оцінку математичного сподівання знаходити за формулою ' ос = — X x v П v=1 1 n УЗ П v=1 — І n v =1 -^2-Г (2) Тз де Кг, Уз відповідно дисперсія та коефіцієнт асиметрії дискретного випадкового процесу. Проте в більшості випадків [3] негауссівська 10107 випадкова послідовність додатково характеризується коефіцієнтом ексцесу, не врахування якого може значно впливати на точність вимірювання. Корегована оцінка значення математичного сподівання має знаходитися за формулою 1 п = — X xv-pП v=1 Y3 -£xv n v =i Л ) 2 2 1 2 3 - - І х ? + к 2 + р - | ,( ) n v =i y| корегуючий множник. Очевидно, що якщо коефіцієнт ексцесу у 4 = 0 , то корегуючий множник р = 1 і оцінка виду (3) збігається з оцінкою виду (2). Даний спосіб вимірювання математичного сподівання випадкового процесу передбачає наявність апріорної інформації про істинні значення величин дисперсії к2, коефіцієнтів асиметрії уз та ексцесу у 4 . В цьому випадку виграш у точності в порівнянні з оцінкою, що отримується з (1), характеризується коефіцієнтом зменшення дисперсії оцінки, який буде складати g = —тр- раз. В даному випадку g є функцією коефіцієнтів асиметрії уз та ексцесу у 4 9(7з.Ї4) = 1 .Я Згідно з нерівністю Коші-Буняковського, яка накладає обмеження на область допустимих значень кумулянтних коефіцієнтів, зокрема + y4 з аналізу формули (4) випливає, що значення коефіцієнта зменшення дисперсії g належить інтервалу (0;1]. Ефективність оцінки а буде залежати від знаку коефіцієнта ексцесу і байдужа до знаку коефіцієнта асиметрії. Так при дії завад з позитивним значенням коефіцієнту ексцесу і фіксованому ненульовому значенні коефіцієнту асиметрії (завади з експоненційним розподілом [З, 118], гамма-розподілом [3, 121]) виграш в точності оцінки математичного сподівання буде меншим порівняно з випадком, коли завада має від'ємне значення коефіцієнту ексцесу і відповідне значення коефіцієнту асиметрії (гармонічна модель завади). Для ілюстрації роботи способу вимірювання математичного сподівання на Фіг. представлена блок-схема роботи способу. Блок-схема, зображена на Фіг., ілюструє роботу способу та складається з аналого-цифрового перетворювача (АЦП) 1, перемножувача 2, другого додаткового перемножувача 3, додаткового суматора 4, додаткового пристрою для усереднення 5, пристрою для усереднення 6, дільника 7, додаткового дільника 8, першого додаткового перемножувача 9, інвертора 10, третього додаткового перемножувача 11, додаткового блоку зведення в степінь 12, четвертого додаткового перемножувача 13, суматора 14, блоку зведення в степінь 15, додаткового інвертора 16, вихідного суматора 17. Вхідний випадковий процес з відомою дисперсією к2 та коефіцієнтами асиметрії у 3 й ексцесу у 4 подається на вхід аналого-цифрового перетворювача 1, який здійснює дискретизацію неперервного випадкового процесу, на його виході отримується послідовність випадкових величин (вибірка). За допомогою перемножувача 2 отримуються квадрати вибіркових значень. Лінійна та квадратична послідовності потрапляють відповідно на пристрої 5, 6, що вираховують арифметичне середнє числових значень, що поступають на їх вхід (операції накопичування та нормування). На виході пристрою 5 обчислюється лінійна усереднена статистика, що є грубою оцінкою математичного сподівання. Решта блоків формують величину корекції значення математичного сподівання з урахуванням можливого негауссівського характеру випадкового процесу, а саме асиметричності і гостроабо плосковершинності процесу. Шукане значення оцінки математичного сподівання знімається з виходу вихідного суматора 17, на який подаються груба лінійна оцінка а та дві величини (складові), що відповідно до формули (3) корегують оцінку, роблячи її більш точною з урахуванням можливої асиметричності гостро- або плосковершинності процесу. Перша корегуюча складова, що подається на суматор 17, дорівнює квадратному кореню, що обчислюється блоком 15, від суми, що отримується на виході суматора 14, на входи якого подаються чотири складові. Перша складова підкореневого виразу, яка подається на вхід суматора 14 отримується з лінійної оцінки, яка зводиться до квадрату (подається на два входи перемножувача 9). Квадратична статистика, що обчислюється на виході блоку 6, інвертується блоком 10, і подається на другий вхід суматора 14. На третій та четвертий входи суматора 14 подають відповідно значення дисперсії випадкової величини та значення з виходу перемножувача 11, на перший вхід якого подають величину з виходу дільника 7, що враховує лише асиметричність розподілу, а на другий вхід - квадрат значення корегуючого множника р, що враховує лише гостро- або плосковершинність 2 розподілу. Величина к2Уз~ формується на виході дільника 7, на перший вхід якого подають значення дисперсії, а на другий вхід подають квадрат значення коефіцієнта асиметрії, отриманого в блоці 3. Квадрат значення корегуючого множника формується на виході перемножувача 13, на два входи якого подається значення, сформоване на виході дільника 8, на один вхід якого подається константа 2, де на неї розділяють величину, отриману з виходу додаткового суматора 4, призначеного для підсумовування значень константи 2 і коефіцієнту ексцесу. Друга складова, що подається на суматор 17, формується з виходу перемножувача 11 після обчислення операції добування квадратного кореня в блоці 12 та інвертування цієї величини в блоці 16. 10107 3b I АЦП г s X а б 3 X 14 10 ~* Г , 7 1 ^ 13 11 h X 17 і і 16 3 X 1 4 13 f Комп'ютерна верстка А Крулевський X • — Фіг. Підписне Тираж 26 прим Міністерство освіти і науки України Державний департамент інтелектуальної власності, вул Урицького, 45, м Київ, МСП, 03680, Україна ДП "Український інститут промислової власності", вул Глазунова, 1, м Київ - 4 2 , 01601