Спосіб раннього прогнозу землетрусу ганношина

Спосіб раннього прогнозу землетрусу, що включає вимірювання повного електронного вмісту іоносфери за допомогою GPS техніки, вивчення характеру зміни повного електронного вмісту іоно C2 1 3 88562 4 носферы Земли градиентными методами // Радиостепени кандидата физико-математических наук. техника и электроника, 2001. №1. с. 47-52.]. Калининград: Российский государственный унивеПроблема реалізації методів реконструкції парарситет имени Иммануила Канта. 19 с. метрів іоносфери (наприклад, розподіл електроwww.kantiana.ru/science/avt zahar.doc] для виявнної концентрації) за даними радіопросвічування лення іоносферних передвісників землетрусів виполягає в тому, що некоректність завдання віднокористовувалася варіація повного електронного влення не дозволяє отримати точний розв'язок змісту іоносфери, отримана за наслідками обробки основного інтегрального рівняння, яке було б стійвимірювань затримок сигналів навігаційних супутників системи GPS на частотах 1227,60МГц і ким до малих змін вхідних даних; 2. практична реалізація методу заснована на 1575,42МГц. використанні вимірювань параметрів радіосигналів Для відновлення повного електронного змісту на трасі "супутник - наземний пункт" за спостереіоносфери GPS техніка реалізовує одночасне вимірювання групових і фазових затримок сигналів женнями з одного пункту. При проведенні спостена частоті 1575,42МГц і на частоті 1227,60МГц. режень під кутом місця від 10 до 90 градусів проекція точки перетину променя зору супутник Обчислюється диференціальна затримка цих двох приймач з максимумом F2 шару іоносфери може сигналів, яка пропорційна повному електронному бути віддалена від пункту прийому на відстань до змісту іоносфери ТЕС (Total Electron Content). 1100км; У кожному сейсмічно-активному регіоні, що 3. GPS техніка забезпечує вимірювання груповивчається, виділяється мережа опорних GPS вих і фазових затримок сигналів на 1575,42МГц і станцій. Для вибраних станцій вивчається поведін1228,60МГц з 30 секундним інтервалом одночасно ка добової варіації ТЕС: будується часовий ряд, який досліджується за допомогою методів статисдля всіх супутників, що знаходяться в зоні радіотичного аналізу. Визначається локальна область з видимісті над окремою станцією. Одночасно більше 5-6 супутників можуть спостерігатися в сектонайбільшими відхиленнями в ТЕС варіації. Для рах різних азимутів. Як групові, так і фазові формування добової варіації ТЕС використовузатримки є відносними, оскільки містять невідомі ються вимірювання всіх прольотів над станцією апаратурні затримки або невідому початкову фазу; спостереження; тобто добова варіація обчислю4. виявлення іоносферних ефектів землетрусів ється за допомогою усереднювання ТЕС по значускладнюється в періоди геомагнітних збурень, ній просторовій області іоносфери. Тому для деколи значно сильніші варіації параметрів іоносфетальнішого дослідження картини зміни ТЕС ри "маскують" слабкіші сейсмо-іоносферні ефекти. вивчаються варіації ТЕС уздовж прольотів окреГеомагнітна активність обумовлена сонячною акмих супутників. Для супутників системи GPS перітивністю і станом міжпланетного середовища; од обертання складає 12 сидеричних годин, таким чином, кожен супутник з'являється через добу над 5. тенденція зменшення електронної концентоднією і тією ж областю з тимчасовим зрушенням рації над епіцентральним районом починається лише за 10-30 годин до землетрусу, що недостатблизько 4 хвилин, тому можна проводити порівньо для надійного упередження можливих важків няння варіації ТЕС уздовж певного прольоту на наслідків землетрусу. тимчасовому інтервалі в декілька днів. Рішення про землетрус що наближається, в З проведеного аналізу сейсмо-іоносферних спокійних геомагнітних умовах, ухвалюється по варіацій [Захаренкова И.Е. 2007. Использование зменшенню електронної концентрації над епіцентизмерений сигналов системы GPS для обнаружеральним районом, або, що теж саме, зміні знаку ния ионосферных предвестников землетрясений // сейсмо-іоносферного збурення. Автореферат диссертации на соискание ученой Проте, використання одночасного вимірюванстепени кандидата физико-математических наук. Калининград: Российский государственный унивеня групових і фазових затримок сигналів техніки рситет имени Иммануила Канта. 19 с. GPS на частоті 1575,42МГц і на частоті 1227,60МГц, для відновлення повного електронноwww.kantiana.ru/science/avt_zahar.doc. Пулинец го змісту іоносфери, має свої недоліки, які не доС.А, Лью Й.Я. Краткосрочный прогноз катастрофизволяють оперативно і якісно провести прогноз ческих землетрясений с помощью наземномайбутнього землетрусу. космических методов. Доклады конференции. МоЗокрема: сква, 2-3 октября 1997. с. 27-44. Липеровский В.А., 1. метод радіопросвічування іоносфери Землі Похотелов О.А., Шалимов С.Л. Ионосферные спирається на обернення приведеної різниці фаз предвестники землетрясений // М.: Наука, 1992. радіохвиль і математично відповідає оберненню 304 с. Гохберг М.Б., Пилипенко В.А., Похотелов інтегрального рівняння першого роду [Бондур В.Г., О.А. О сейсмических предвестниках в ионосфере Смирнов В.М. Метод мониторинга сейсмоопасных // Физика Земли, 1983. Т. 10. с. 17-21. Пулинец территорий по ионосферным вариациям, регистС.А., Боярчук К.А., Ломоносов A.M., Хегай В.В., Лю рируемым спутниковыми навигационными систеЙ.Я. Ионосферные предвестники землетрясений: мами // Доклады Академии наук, 2005. Т. 402. №5. предварительный анализ данных критических часс. 675-679. Андрианов В.А., Смирнов В.М. Опретот foF2 наземной станции вертикального зондиделение высотного профиля электронной конценрования ионосферы Чунг-Ли (о. Тайвань). // Геомагнетизм и аэрономия, 2002. Т. 42. №4. с. 43 5трации ионосферы Земли по двухчастотным из447. Пулинец С.А., Легенька А.Д., Зеленова Т.И. мерениям радиосигналов искусственных Зависимость сейсмо-ионосферных вариаций в спутников Земли // Радиотехника и электроника, максимуме слоя F от местного времени // Геомаг1993. Т. 38. №7. с. 1326-1335. Смирнов В.М. Решение обратной задачи радиопросвечивания ионетизм и аэрономия, 1998. Т. 38. С. 178-183. Дро 5 88562 6 меридіана; бжев В.И., Калиев М., Литвинов Ю.Г. Отклик ионо3. тривалість варіації щільності іоносферної сферы на Алма-Атинское землетрясение 4 марта плазми (відхилення від незбуреного значення), 1991 г. Геомагнетизм и аэрономия, т. 32, №4, с. одного знаку невелика і складає 4-6 годин. Тільки 144-146, 1992. Липеровский В.А., Попов К.В., Поу разі дуже сильних землетрусів вона може бути хотелов О.А. Возмущения временного хода частозначною ~12 годин; ты fbEs ионосферы сейсмоактивного района. Фи4. у міру наближення до моменту землетрусу зика Земли, №12, с. 83-89, 1999. Михайлов Ю.М., амплітуда збурення збільшується, досягаючи знаМихайлова Г.А., Капустина О.В. Вариации различчення 40-60% (в деяких випадках, 80-100%) щодо ных атмосферно-ионосферных параметров в пефонового рівня; риоды подготовки землетрясений на Камчатке: 5. за 10-30 годин до землетрусу виявлена тенпредварительные результаты. Геомагнетизм и денція зменшення електронної концентрації над аэрономия, т. 42, №6, с. 805-813, 2002. Пулинец епіцентральним районом - "негативна" аномалія; С.А., Боярчук К.А., Ломоносов A.M. Ионосферные 6. величина "негативного" ефекту може досяпредвестники землетрясений: предварительный гати мінус 30% щодо незбуреного стану; анализ данных критических частот foF2 наземной Всі вимірювання електронної концентрації станции вертикального зондирования ионосферы аналізуються, максимум за п'ять діб до майбутньоЧунг-Ли (о. Тайвань). Геомагнетизм и аэрономия, т. 42, №4, с. 535-540, 2002. Пулинец С.А., Легеньго землетрусу. Проте, результати вимірювань [Авка А.Д., Зеленова Т.Н. Зависимость сейсмоторское свидетельство СССР №1434378 А1, кл. ионосферных вариаций в максимуме слоя F от G01V 1/00] і розрахунки по збуреному рівнянню местного времени. Геомагнетизм и аэрономия, т. синус Гордона [Викулин А.В., Быков В.Г., Лунева 38, №3, с. 178-183, 1998. Пулинец С.А., Лю И.Я., М.Н. Нелинейные волны деформации в ротационСафронова К.А. Интерпретация результатов станой модели сейсмического процесса // Вычислитистического анализа вариаций критической частельные технологии. 2000. Т. 5. №1. с. 31-39.] свідчать про те, що тривалість тимчасового тоты foF2 перед землетрясением по данным ионоінтервалу, з моменту зародження сейсмічного сферной станции Чунг-Ли (о. Тайвань). процесу і до самого землетрусу, може складати Геомагнетизм и аэрономия, т. 44, №1, с. 113-118, від 35 до 110 діб, залежно від магнітуди землетру2004. Самарджиев Д., Пашова Ц. Волновые ионосу. Цей факт може привести до постійної складосферные возмущения, наблюдавшиеся после зевої збільшення електронної концентрації шару F2 млетрясения 4.03.1977 г. в горах Вранга. Болг. іоносфери, але з меншою амплітудою варіації. У геофиз. списание, т. 8, №4, с. 44-51, 1982. Седова зв'язку з тим, що GPS техніка працює на частотах Ф.И., Мозговая Т.А. Анализ геомагнитных вариа1575,42МГц і 1227,60МГц, для яких іоносфера ций в связи с землетрясениями в Крымско"прозора", вона виявляється нечутливій до незнаЧерноморском районе. Геофиз. ж., т. 23, №1, с. чної зміни електронній концентрації шару F2 іоно115-120, 2001. Фаткуллин М.Н., Гайворонская Т.В., сфери. Зеленова Т.И., Хусамеддинов С.С. Реакция облаУ зв'язку з вищевикладеними недоліками анасти F ионосферы на повторные толчки в апреле логів, пропонується наступний спосіб прогнозу 1984 г. после Газлийского землетрясения. Изв. землетрусу, що ліквідує вищевказані недоліки вузов. Радиофиз., т. 31, №7, с. 874-878, 1988. ХеМета винаходу - зменшення часу на отримангай В.В., Легенька А.Д., Пулинец С.А., Ким В.П. Изменения в F2-области ионосферы перед катастня достовірних ранніх відомостей про майбутній рофическим землетрясением на Аляске землетрус що насувається. Дана мета досягається 28.03.1964 г. По данным наземных станций вертитим, що проводяться вимірювання критичних часкального зондирования ионосферы. Геомагнетизм тот шару F2 іоносфери за допомогою іонозонда в опівнічний час (від 200 до 400 годин ночі), що відпои аэрономия, т. 42, №3, с. 360-365, 2002.], в сповідає інтервалу часу роботи іонозонда від 0 до fn+k. кійних геомагнітних умовах, виявлені наступні хаВиміряні значення, на інтервалі часу від 0 до tn-1, рактеристики: 1. прояв сейсмо-іоносферних ефектів в ТЕС накопичуються і проводиться розрахунок екстравимірюваннях спостерігається, щонайменше, за польованих значень швидкості зміни квадратів дві-три доби до землетрусу і має вид локального критичних частот шару F2 іоносфери, на момент збільшення електронної концентрації, максимум часу від tn до tn+k. Розраховуються екстрапольовані збурення області розташований в безпосередній значення швидкості зміни квадратів критичних близькості від епіцентрального району; частот шару F2 іоносфери, на момент часу від tn 2. просторовий масштаб - декілька тисяч кілодо tn+k, по наступному виразу (див. додаток 1, співвідношення 15): метрів уздовж паралелі і близько 1000км уздовж y (t n ) = e 2 ⎛ ⎛ n −1 n n n ⎛ n 2 ⎞⎞ ⎛ n 2 ⎞ n −1 ⎜ ⎜ ∑ ln(yi )⎞⎜ ⎛ ∑ ti ⎞ tn − ⎛ ∑ ti ⎞⎛ ∑ ti ⎞ ⎟ + ⎛ ∑ ti ln(yi )⎞⎜ ⎛ ∑ ti ⎞ − nt n ⎛ ∑ ti ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ i=1 ⎟⎜ i=1 ⎟ ⎟ ⎜ i =1 ⎟⎝ ⎜ ⎝ i=1 ⎠⎝ ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i=1 ⎠ ⎟ ⎟ ⎠⎝ ⎝ i =1 ⎠ ⎠⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⎜ ⎟ 2 2 2 ⎜ ⎟ ⎛ n t ⎞ ⎛ ⎛ n t ⎞ − 2 t ⎞ + ⎛ n t ⎞⎛ nt 2 − n⎛ n t ⎞ + ⎛ n t ⎞ ⎞ ⎜ n ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜∑ i ⎟ ⎜⎜∑ i ⎟ n ⎟ ⎜ ∑ i ⎟⎜ ⎜ i∑ i ⎟ ⎜ i∑ i ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ i=1 ⎠ ⎝ ⎝ i =1 ⎠ ⎠ ⎝ i=1 ⎠⎝ ⎝ =1 ⎠ ⎝ =1 ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ , (1) 7 88562 де уі - виміряні значення швидкості зміни квадрата критичних частот шару F2 іоносфери на момент часу від 0 до tn-1; y(tn) - екстрапольовані значення швидкості зміни квадрата критичних частот шару F2 іоносфери на момент часу tn. Проводиться розрахунок коефіцієнта кореляції між виміряними і екстрапольованими, на інтервалі часу від tn до tn+k, значеннями швидкості зміни квадрата критичних частот шару F2 іоносфери, по наступному співвідношенню: ρ= ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎜⎛ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎝ ⎜ ⎝ n ∑ i=1 ⎞ n ∑ y y (t i i i=1 2⎞ ⎟ yi ⎟ − ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ n )⎟ − ⎟ ⎞ yi ⎟ ⎟ i=1 ⎠ n n ∑ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ i i=1 ⎞⎛ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎛ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎝ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎞ n i n i=1 )⎟ ⎟ ⎠ n ⎠ 2 ⎞⎛ n ∑ y ⎟⎟⎜⎜ ∑ y (t n ∑ i=1 ⎞ y i (t n )2 ⎟ − ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ n ∑ i=1 ⎞ y i (t n )⎟ ⎟ ⎠ n 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ , (2) Критерієм ухвалення рішення про майбутній землетрус що насувається, служить перевищення величини квадрата коефіцієнта кореляції між виміряними і екстрапольованими, на інтервалі часу від tn до tn+k, значеннями швидкості зміни квадратів критичних частот шару F2 іоносфери, значення 0,5. У зв'язку з тим, що існування електронів найтриваліше в області F2 [Система Обработки Радиоинформации (СОР) и космического обслуживания. Источник: http://www.ips.gov.au/papers/richard/hfreport/webep. htm. Перевод: Антон Коваль tony@uch.net.], що і є однією з причин існування цієї області в нічний час, як інформаційний параметр критичної частоти, виберемо критичну частоту шару F2. Для виключення впливу геомагнітних збурень, обумовлених сонячною активністю і станом міжпланетного середовища, вимірювання критичних частот шару F2 іоносфери слід проводити в опівнічний час. Реалізацію пропонованого способу короткострокового прогнозу землетрусів, розглянемо на прикладі роботи іонозонда "ПАРУС" [Ионозонд "ПАРУС". Документация Ионозонда ПАРУС-3 Демо версии. \\ www http://top.izmiran.troitsk.ru/parus/.]. Іонозонд "ПАРУС" призначений для діагностики іоносфери і оперативного прогнозу короткохвильового зв'язку. Конструкція іонозонда виконана за модульним принципом. Режим роботи іонозонда змінюється програмно, що дозволяє його легку адаптацію до конкретних потреб різних експериментальних комплексів діагностики іоносфери. За допомогою іонозонда можна проводити вимірювання амплітудних характеристик, спектру, форми і фази сигналу, що відбитий. Один з інтегрованих пакетів математичного супроводу іонозонда включає інтегроване середовище обробки іонограм, ведення баз даних, генерації стандартних звітів. Середовище включає графічний редактор іонограм, що дозволяє проводити обробку результатів зондування в інтерактивному режимі і програму відновлення профілю 8 електронної концентрації. За відновленим профілем електронної концентрації, в досліджуваному районі, проводиться розрахунок значень критичних частот шару F2 іоносфери, на інтервалі часу від 0 до tn-1, Розраховані значення накопичуються в оперативній пам'яті ПЕОМ IBM PC AT іонозонда і обчислюються квадрати критичних частот. Розраховуються виміряні значення швидкості зміни критичних частот шару F2 іоносфери, на інтервалі часу від 0 до tn-1, і екстрапольовані значення швидкості зміни квадратів критичних частот шару F2 іоносфери на момент часу від tn до tn+k (1). За відновленим профілем електронної концентрації на момент часу від tn до tn+k, проводять розрахунок швидкості зміни квадрата критичних частот шару F2 іоносфери. Розраховується квадрат коефіцієнта кореляції між виміряними і екстрапольованими, на інтервалі часу від tn до tn+k, значеннями швидкості зміни квадрата критичних частот шару F2 іоносфери (2). При перевищенні квадрата коефіцієнта кореляції порогу 0,5 ухвалюється рішення про майбутній землетрус що насувається. На Фіг.1 і Фіг.2 представлена географія розміщення 7-ми іонозондів "ПАРУС" [Ионозонд "ПАРУС". Документация Ионозонда ПАРУС-3. Демо версии // www http://top.izmiran.troitsk.ru/parus/.], і більше 70-ти іонозондів DPS-4 [Цифровой ионозонд DPS-4 // Институт Солнечно-Земной физики СО РАН. Отдел физики верхней атмосферы и распространения радиоволн, http://ulcar.uml.edu/.], що функціонують в даний час. З представленої географії розміщення іонозондів виходить, що вони охоплюють всі сейсмонебезпечні райони. Цей факт свідчить про те, що реалізація пропонованого способу прогнозу землетрусу не вимагає додаткових капіталовкладень. Додаток 1. Виведення формули для екстрапольованого значення швидкості зміни квадрата критичної частоти відбитого від іоносфери сигналу, що поступає на узгоджений вхід приймача іонозонда. Електронна концентрація (Ne) пов'язана з критичними частотами сигналу, при вертикальному зондуванні іоносфери, співвідношенням [25] ел 2 (1) 3 N e = 1,24 ⋅ 10 4 ⋅ fкр , МГц, см . Враховуючи співвідношення (1), вираз для квадратів критичних частот сигналу іонозонда (ІЗ), на момент часу t1, t2, tn, представляється у вигляді: ⎧f 2 (t ) = f 2 101,0k (t1 ) ˆ ˆ e∂ 0 ⎪ e∂ 1 ⎪f 2 (t ) = f 2 101,0k (t 2 ) ⎪ e∂ 2 ˆ ˆ e∂ 0 (2) ⎨ ⎪........................ ⎪ 2 1,0k (t n ) 2 ⎪fe∂ (t n ) = fe∂0 10 ˆ ⎩ˆ 2 де fe∂ 0 - початкове значення квадрата критичˆ ної частоти сигналу іонозонда; k(t) - коефіцієнт, що характеризує зміну кількості електронів в даному іоносферному шарі, дБ. 2 Виражаючи fe∂ 0 з рівнянь системи (2) і прирівˆ нявши праві частини виразів, отримуємо: 9 88562 10 похідні функціонала (6) по невідомих параметрах ( ) Ан і β, заздалегідь прологарифмувавши вирази (4) k (t n ) − k ( ) ( ) і (5). ⎞ ⎛ n що рівносильне виразу: Q = arg min A i ,β ⎜ (ln(y i ) − ln(x1 ))2 ⎟ 2 2 (7) ⎟ ⎜ ∆k (t n − t1 ) = 10 lg fe∂ (t n ) − lg fe∂ (t1 ) . (3) ˆ ˆ ⎠. ⎝ i=1 З представленого виразу (3) виходить, що різПісля диференціювання функціонала (7) по ниця логарифма квадратів критичних частот, на невідомих параметрах Ан і β прирівнюючи нулю моменти часу t1 і tn, є не що інше, як різниця коеперших похідних, отримуємо систему рівнянь: фіцієнтів, що характеризують зміну Nе в іоносфері. ⎧ ⎛ n ln(y ) − ln(A ) − βt ⎞ Очевидно, що зробити прогноз про майбутній i i i ⎟ ⎪2⎜ = 0; землетрус що насувається можна, аналізуючи змі⎟ ⎪ ⎜ Ai i=1 ну квадратів критичних частот іоносфери на пев⎪ ⎝ ⎠ (8) ⎨ ному інтервалі часу. Проте, як сам момент часу ⎞ ⎪ ⎛ n ⎜ ⎟=0 зародження сейсмічного процесу, так і його магні(ln(y i ) − ln(A i ) − βt i )t i ⎟ ⎪2⎜ туда, є випадковою подією щодо наземного спо⎪ ⎝ i=1 ⎠ ⎩ стерігача ІЗ. Отже, є не відомим і сам коефіцієнт k У системі (8) число рівнянь рівне числу невіна момент часу t. домих параметрів. Тому оцінку коефіцієнтів параЗавдання раннього виявлення майбутнього метрах Ан і β шукатимемо, безпосередньо розв'яземлетрусу що насувається характеризується визуючи систему рівнянь (8). соким рівнем апріорної невизначеності, яку можна Розглянемо перше рівняння системи (8): подолати, використовуючи процедури навчання і n ⎛ n ⎞ адаптації. ti ⎟ β⎜ Перейдемо від різниці коефіцієнтів, що харакln(y i ) ⎟ ⎜ n ln(A i ) теризують зміну Ne, до їх швидкості зміни і, відпо⎝ i=1 ⎠ i=1 =0 − − відно, від різниці логарифма квадратів критичних Ai Ai Ai , частот, до швидкості зміни різниці логарифма квазвідки, після нескладних перетворень, отримудратів критичних частот: ємо вираз для оцінки невідомого параметра β: 2 ∂∆k (t ) ∂fe∂ (t ) ˆ ⎞ ⎛ n = ⎜ ∂t ∂t ln(y i )⎟ − n ln(A i ) ⎟ ⎜ 2 2 2 ⎠ ⎝ i=1 ∂fe∂ (t ) 10 lg fe∂ (t n ) − lg fe∂ (t1 ) ˆ ˆ ˆ β= (9) (4) = . де n ∂t ∆t ti Аналіз численних вимірювань Ne=f(t), до моi=1 . менту часу виникнення землетрусу, свідчить про Розглянемо друге рівняння системи (8): те, що швидкість зміни коефіцієнта, що характериn зує збільшення Ne у розглядаємому шарі іоносфе(ln(y i ) − ln(A i )) − β(t i )t i = 0 ри, може бути представлена експоненціальною i= 2 функцією часу, тобто: , ∂ звідки, після нескладних перетворень, отриму∆k (t ) = A i e (β t ) (5) ємо вираз для оцінки невідомого параметра Ан: ∂t , ⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ де Ан - початкове значення швидкості зміни ⎜ ln(y i )t i ⎟ − β⎜ ti2 ⎟ коефіцієнта; ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ β - коефіцієнт, що характеризує збільшення Ne ⎝ i=1 ⎠ ⎝ i=1 ⎠ ln(A i ) = (10) в даному іоносферному шарі. n Позначимо залежність (4) через хі, а залежti ність (5) - через уі. Оцінки коефіцієнтів Ан і β неліi=1 . нійній регресії (5) природно шукати так, щоб заПідставивши у вираз (10) отриманий вираз для безпечити найменшу можливу нев'язність між параметра β (9), отримуємо виміряними і екстрапольованими значеннями, тоб⎛⎛ n ⎞⎛ n ⎞ ⎞ то потрібна деяка сумарна характеристика, яка ⎜⎜ ⎟ ln(y i )⎟ − n ln(A i )⎟⎜ ti2 ⎟ повинна залежати від відмінностей між виміряни⎜⎜ ⎟ ⎟ ⎟⎜ i=1 ⎛ n ⎞ ⎜ ⎝ i=1 ⎠ ⎠ ми і передбаченими значеннями. ⎝ ⎠⎝ ⎜ ln(y i )t i ⎟ − ⎜ ⎟ n Для знаходження шуканих оцінок Ан і β вико⎝ i=1 ⎠ t ристовуватимемо метод, заснований на методі 2 f ˆ tn t1 = 10 lg e∂ 2 fe ∂ t1 ˆ ( ∑ ) ∑ ∑ ∑ ∑ ( ∑ ) ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ найменших квадратів. Складемо функціонал Q: n Q= ∑ (y i − x i )2 ln(A i ) = (6) i=1 і знайдемо такі оцінки коефіцієнтів Ан і β, які б мінімізували функціонал (6). Оскільки заздалегідь про ці оцінки нічого не відомо - тоді мінімум отримаємо, прирівнявши нулю ∑ ∑ ∑ n ∑t i i=1 i i=1 . Після нескладних перетворень цього виразу, отримуємо: 11 ln(A i ) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞⎛ n 88562 ⎞ ⎛ n ⎞⎛ n ∑ t ⎟⎟⎜⎜ ∑ ln(y )t ⎟⎟ − ⎜⎜ ∑ ln(y )⎟⎟⎜⎜ ∑ t i i=1 ⎠⎝ i i i=1 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ n ∑ i=1 ⎠ ⎝ 2 ⎞ ⎛ t i ⎟ − n⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ i i=1 i i=1 ⎟ ⎠ i ⎞ ∑ ln(y i )t i = ⎜ ∑ ln(y i )t i ⎟ + t n ln(y n ) , ⎜ ⎟ i=1 ⎝ i=1 ⎠ n ⎛ n−1 ⎞ ∑ ln(y i ) = ⎜ ∑ ln(y i )⎟ + ln(y n ) . ⎜ ⎟ i=1 i=1 ⎝ ⎠ ⎟ ⎠ . Після підстановки (11) в (9) і проведення перетворень, можна отримати: ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ β= ⎞ ln(y i )⎟ − ⎟ i=1 ⎠ n ∑ ⎛⎛ ⎜ n⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝⎝ n ⎞⎛ t i ⎟⎜ ⎟⎜ ⎠⎝ ⎞ ⎛ ln(y i )t i ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ i=1 ⎠ ⎝ n ∑ ∑ i=1 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ n ∑ i=1 2 2 ⎞ ⎛ t i ⎟ − n⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ ⎛ − n⎜ ⎜ ⎠ ⎝ ∑ t ⎟⎟ i n ∑ n ∑ i=1 n ∑ i=1 n−1 i=1 ⎞⎞ ti ⎟ ⎟⎟ ⎠⎠ швидкість зміни квадратів критичних частот шару F2 іоносфери на момент часу від 0 до tn-1, етап навчання. yn - екстрапольоване значення швидкості зміни квадрата критичної частоти шару F2 іоносфери на момент часу tn. Підставивши співвідношення (13), (14) в (11), (12) і враховуючи, що ln(yn(t))=ln(Ai)+βtn, розв'язавши отримані рівняння щодо невідомої величини екстрапольованого значення швидкості зміни квадрата критичної частоти на момент часу tn, отримуємо: 2 ⎟⎟ ⎞ ti2 ⎟ ⎟ ⎠ i (12) 2⎟ ⎟ ⎠ . Для знаходження екстрапольованого значення швидкості зміни квадрата критичної частоти на момент часу tn, представимо вирази у вигляді: i=1 i=1 2 2 ⎞ ⎛ n −1 ⎛ n 2 ⎞⎛ n ⎞ ⎞ ⎛ n −1 ⎞⎛ ⎛ n ⎞ ⎞⎛ ⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞⎞ ⎟ ⎜⎛ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ln(y i )⎟⎜ ⎜ t i ⎟ t n −⎜ t i ⎟⎜ t i ⎟ ⎟ + ⎜ t i ln(y i )⎟⎜ ⎜ t i ⎟ −nt n ⎜ t i ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ i =1 ⎟⎜ i =1 ⎟ ⎟ ⎜ i =1 ⎜ ⎝ i =1 ⎠⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎝ i =1 ⎠ ⎠⎝ ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ ⎟ ⎟ ⎠⎝ ⎝ ⎠⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ n ⎞ ⎛ n ⎞⎛ 2 ⎛ n 2 ⎞ ⎛ n 2 ⎞ ⎞ ⎛⎛ n ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ t ⎟ ⎜ ⎜ t ⎟ −2 t ⎟ + ⎜ t ⎟⎜ nt −n⎜ t ⎟ + ⎜ t ⎟ ⎟ i ⎟⎟ i ⎟ ⎜⎜ i⎟ n⎟ ⎜ i ⎟⎜ n i ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ i =1 ⎟ ⎜ i =1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ i =1 ⎠ ⎝ ⎝ i =1 ⎠ ⎠ ⎝ i =1 ⎠⎜ ⎠⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ ⎠ e⎝ ∑ y (t n ) = ∑ ∑ ∑ ∑ (14) де - ∑ ln(y i )t i накопичування інформації про ⎞ n ∑t ⎞⎛ ln(y i )⎟⎜ ⎟⎜ i=1 ⎠⎝ n (13) (11) 2⎟ i=1 12 ⎛ n−1 n 2⎟ ⎞ n ∑t ⎠⎝ ⎞ n ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ . (15) 13 Комп’ютерна верстка А. Крулевський 88562 Підписне 14 Тираж 28 прим. Міністерство освіти і науки України Державний департамент інтелектуальної власності, вул. Урицького, 45, м. Київ, МСП, 03680, Україна ДП “Український інститут промислової власності”, вул. Глазунова, 1, м. Київ – 42, 01601