Спосіб аналізу частотних характеристик

Спосіб аналізу частотних характеристик, що включає подачу на вхід об'єкта, який досліджується, тестового періодичного сигналу з частотою ω1, фільтрацію сигналу на виході об'єкта, який досліджується, фільтром нижніх частот, визначення амплітуд синфазної і квадратурної складових гармонік сигналу на виході об'єкта, який досліджується, і виведення результатів вимірів на індикатор, який відрізняється тим, що при визначенні амплітуд синфазної і квадратурної складових гармонік сигналу на виході об'єкта, який досліджується, додатково виконують ослаблення адитивної неперіодичної завади, причому при визначенні амплі 2 (11) 1 3 65174 4 визначення амплітуд синфазної і квадратурної го-цифрових перетворювачів сигнали подають на складових гармонік сигналу на виході об'єкта, який інтегратори, де їх інтегрують. Блок керування здійдосліджується, і виведення результатів вимірів на снює переналагодження частоти в генераторі, індикатор. Однак даний спосіб недостатньо точний установку інтервалу інтегрування й усереднення через те, що в ньому не передбачене ослаблення на інтервалі інтегрування в інтеграторах. При цьоадитивної неперіодичної завади. му, вихідні сигнали інтеграторів являють собою Прикладом об'єкта, який досліджується, де амплітуди синфазної і квадратурної складових присутня адитивна неперіодична завада, є систесигналу, що досліджується, реакції об'єкта на гарма "компресорний цех - магістральний газопровід". монічний сигнал. Результати вимірів виводять на Для мінімізації витрат палива компресорного блок індикації. цеху [2] необхідно вимірювати дуже малі зміни Даний спосіб аналізу частотних характеристик, витрати в лінії перекачуваного газу. Ці зміни являяк і однойменний спосіб, що заявляється, включає ються сумою двох складових: подачу на вхід об'єкта, який досліджується, тесто- корисної, викликаної періодичною модуляцівого періодичного (у даному випадку гармонічного) єю частот обертання нагнітачів газоперекачувальсигналу з частотою , фільтрацію сигналу на виних агрегатів компресорного цеху; ході об'єкта, який досліджується, фільтром нижніх - завади у вигляді монотонних змін витрати. частот і визначення амплітуд синфазної і квадраОстанні незначні зміни завжди присутні в турної складових гармонік сигналу на виході об'єкпрактично сталому режимі системи "компресорний та, який досліджується, і виведення результатів цех - магістральний газопровід". Вони обумовлені вимірів на індикатор. Однак даний спосіб недостанерівномірностями надходження газу в лінії всмоктньо точний через те, що в ньому не передбачене тування і відбору в лінії нагнітання компресорного ослаблення адитивної неперіодичної завади. цеху. В основу передбачуваного винаходу поставВідомий також компенсаційний спосіб експелена задача удосконалення способу аналізу часриментального визначення частотних характеристотних характеристик шляхом підвищення його тик об'єктів [1, с.113], що включає подачу на вхід точності за рахунок ослаблення адитивної неперіоб'єкта, який досліджується, тестового синусоїдаодичної завади, досягти якого необхідно тим, що льного сигналу з частотою , підбір амплітуди при визначенні амплітуд синфазної і квадратурної компенсаційного сигналу каліброваним дільником, складових непарних гармонік інтегрувати добутки підбір фази компенсаційного сигналу фазозсувасигналу на виході об'єкта, який досліджується, на чем, визначення амплітуд синфазної і квадратурвідповідні опорні сигнали sin k t і cos k t , а при ної складових гармонік сигналу на виході об'єкта, визначенні амплітуд синфазної і квадратурної який досліджується, шляхом порівняння сигналу складових парних гармонік інтегрувати добутки на виході об'єкта, який досліджується, з компенсарізниці сигналу на виході об'єкта, який досліджуційним сигналом індикатором, що реагує на діюче ється, й апроксимуючого полінома на відповідні значення і виведення результатів вимірів на індиопорні сигнали sin k t і cos k t , в обох випадках катор. на інтервалах тривалістю 2Т, зміщених щодо інтеДаний компенсаційний спосіб експериментарвалу спостереження Ν, що визначають за форльного визначення частотних характеристик об'єкмулою: тів, як і спосіб аналізу частотних характеристик, N=T(m+2)/2, що заявляється, включає подачу на вхід об'єкта, де Τ - період основної гармоніки, T 2 / ; який досліджується, тестового періодичного сигm - степінь апроксимуючого полінома адитивналу (у даному випадку синусоїдального) з частоної неперіодичної завади, на іТ/4 для і=0,2,4,...,2mтою , визначення амплітуд синфазної і квадра4 і на інтервалах тривалістю Т, зміщених відносно турної складових гармонік сигналу на виході N на (i+1)T/4 для і=1,3,5,...,2m-3, якщо m більше об'єкта, який досліджується, і виведення результаодиниці, і інтегрувати на інтервалах тривалістю Т, тів вимірів на індикатор. Однак даний спосіб недозміщених відносно N на 0 і на T/2, якщо m дорівстатньо точний через те, що в ньому не передбанює одиниці, далі обчислювати значення коригучене ослаблення адитивної неперіодичної завади. вальних коефіцієнтів, визначаючи їх у залежності Найбільш близьким за технічною суттю, обравід степеня апроксимуючого полінома, періоду ним як прототип, є спосіб аналізу частотних харакосновної гармоніки і зсуву, після чого підсумовуватеристик, за яким працює аналізатор частотних ти добутки отриманих значень інтегралів на корихарактеристик [3]. гувальні коефіцієнти. Спосіб аналізу частотних характеристик, який Задача, яка поставлена вирішується тим, що у реалізований у зазначеному пристрої, полягає у відомому способі аналізу частотних характериснаступному. тик, що включає подачу на вхід об'єкта, який досТестовий гармонічний сигнал, що виробляєтьліджується, тестового періодичного сигналу з часся генератором, подають на об'єкт, який досліджутотою , фільтрацію сигналу на виході об'єкта, ється. Сигнал реакції об'єкта подають на цифроякий досліджується, фільтром нижніх частот, вианалогові перетворювачі квадратурних каналів, де значення амплітуд синфазної і квадратурної склайого множать на опорні сигнали sin k t і cos k t , дових гармонік сигналу на виході об'єкта, який відповідно для кожного квадратурного каналу. досліджується і виведення результатів вимірів на Аналогові сигнали подають на входи фільтрів ниіндикатор відповідно до винаходу, при визначенні жніх частот, за допомогою яких послаблюють амплітуд синфазної і квадратурної складових гарскладові високих частот сигналу і пропускають монік сигналу на виході об'єкта, який досліджуєтьскладові низьких частот сигналу. З виходів анало 5 65174 6 ся, додатково роблять ослаблення адитивної неНа кресленні приведена одна з можливих періодичної завади, причому при визначенні ампструктурних схем пристрою, що пояснює спосіб літуд синфазної і квадратурної складових непараналізу частотних характеристик. них гармонік інтегрують добутки сигналу на виході Пристрій (креслення) містить послідовно з'єдоб'єкта, який досліджується, на відповідні опорні нані генератор Γ1, об'єкт, який досліджується ИО2, аналоговий фільтр нижніх частот АФНЧ3, аналогосигнали sin k t і cos k t , а при визначенні ампліцифровий перетворювач АЦП4, цифровий фільтр туд синфазної і квадратурної складових парних нижніх частот ЦФНЧ5, пристрій, що запам'ятовує, гармонік інтегрують добутки різниці сигналу на ЗУ6, блок визначення амплітуд синфазної і квадвиході об'єкта, який досліджується, й апроксимуюратурної складових гармоніки сигналу БОСиКС7 і чого полінома на відповідні опорні сигнали sin k t індикатор И8. і cos k t , в обох випадках на інтервалах тривалісСпосіб аналізу частотних характеристик реалітю 2Т, зміщених щодо інтервалу спостереження N, зують у такий спосіб Генератор Г1 подає на вхід на іТ/4 для i=0,2,4,...,2m-4 і на інтервалах триваліоб'єкта, який досліджується, ИО2 тестовий періостю T, зміщених відносно N на (I+1)T/4 для дичний сигнал з частотою , крім того, формує i=1,3,5,...,2m-3, якщо m більше одиниці, і інтегруопорні сигнали sin k t і cos k t , що подаються на ють на інтервалах тривалістю T, зміщених відносблок визначення амплітуд синфазної і квадратурно N на 0 і на Т/2, якщо m дорівнює одиниці, далі ної складових гармонік сигналу БОСиКС7, вихідобчислюють значення коригувальних коефіцієнтів, ний сигнал ИО2 подають на вхід аналогового фівизначаючи їх у залежності від степеня апроксильтра нижніх частот АФНЧ3, а вихідний сигнал муючого полінома, періоду основної гармоніки і аналогового фільтра нижніх частот АФНЧ3 подазсуву, після чого підсумовують добутки отриманих ють на вхід аналого-цифрового перетворювача значень інтегралів на коригувальні коефіцієнти. АЦП4, після аналого-цифрового перетворювача Технічний результат, якого можна досягти при АЦП4 сигнал подають на вхід цифрового фільтра використанні винаходу виражений у тім, що забезнижніх частот ЦФНЧ5, а вихідний сигнал цифровопечується підвищення точності результатів аналізу го фільтра нижніх частот ЦФНЧ5 подають на причастотних характеристик. стрій, що запам'ятовує, ЗУ6, далі вихідний сигнал Причинно-наслідковий зв'язок між сукупністю пристрою, що запам'ятовує, ЗУ6 подають на вхід ознак винаходу і технічним результатом прослідблоку визначення амплітуд синфазної і квадратурковується в тім, що нові ознаки: визначення ампліної складових гармонік сигналу БОСиКС7. туд синфазної і квадратурної складових гармонік У блоці визначення амплітуд синфазної і квадсигналу на виході об'єкта, який досліджується, з ратурної складових гармонік сигналу БОСиКС7 ослабленням адитивної неперіодичної завади, амплітуди синфазної Uk(sin) і квадратурної Uk(cos) причому визначення амплітуд синфазної і квадраскладових непарної k-ої гармоніки сигналу виду турної складових непарних гармонік шляхом інтегрування добутків сигналу на виході об'єкта, який досліджується, на відповідні опорні сигнали sin k t і cos k t , а визначення амплітуд синфазної і квадратурної складових парних гармонік шляхом інтегрування добутків різниці сигналу на виході об'єкта, який досліджується, й апроксимуючого полінома на відповідні опорні сигнали sin k t і sin k t , в обох випадках на інтервалах тривалістю 2Т, зміщених щодо інтервалу спостереження Ν, на iΤ/4 для i=0,2,4,...,2m-4 і на інтервалах тривалістю Τ, зміщених відносно N на (i+1)T/4 для і=1,3,5,...,2m-3, якщо m більше одиниці, і шляхом інтегрування на інтервалах тривалістю Τ, зміщених відносно N на 0 і на T/2, якщо m дорівнює одиниці, обчислення значень коригувальних коефіцієнтів з визначенням їх у залежності від степеня апроксимуючого полінома, періоду основної гармоніки і зсуву, і наступне підсумовування добутків отриманих значень інтегралів на коригувальні коефіцієнти, при взаємодії з відомими ознаками, а саме подачею на вхід об'єкта, який досліджується, тестового періодичного сигналу з частотою , фільтрацією сигналу на виході об'єкта, який досліджується, фільтром нижніх частот, визначенням амплітуд синфазної і квадратурної складових гармонік сигналу на виході об'єкта, який досліджується, і виводом результатів вимірів на індикатор забезпечують підвищення точності результатів аналізу частотних характеристик. m u r a jt j j 0 r Uk sin sin k t k 1 Uk cos cos k t , k 1 де - сигнал на виході об'єкта, який досліджуu ється, ИО2; k - номер гармоніки; r - номер максимальної гармоніки, що визначають з нерівності: r n m 2 у випадку m=1, визначають за формулами: Uk sin Uk cos 1 T 1 T T 3T / 2 ul sin k t dt ul sin k t dt 0 ; T/2 T 3T / 2 ul cos k t dt 0 ul cos k t dt , T/2 де ul - дискретні значення сигналу на виході пристрою, що запам'ятовує, ЗУ6 у точках tl=lΝ/n, де n кількість рівних частин, на які розділений інтервал спостереження N; l=0,1,2,...N; а у випадку m 2 , амплітуди синфазної і квадратурної складових непарної k-ої гармоніки визначають за формулами: Uk sin 1 m 2 2m 1T i 0 i 4 T/2 Cim 2 ul sin k t dt 2 iT / 2 i 3 T/2 ul sin k t dt ; i 1T/2 7 m 2 1 Uk cos m 1 2 T i 0 i 4 T/2 Cim 2 Cim 2 iT / 2 m 3 ul cos k t dt i 1T/2 біноміальні am q i 4 T/2 m 3 q i 4 T/2 iT / 2 m 3 q tm q sin t dt 0 T m ul sin t d U1 sin T 3T / 2 m a jt j sin t dt 2 0j 3 T/2 T/2 j 3 ul sin t dt коефіцієнт а1 апроксимуючого полінома, у випадку m>1, визначають за формулою: a1 0j 2 T 2 Uk cos m 2 1 , Uk cos m 1 2 T i 0 1 m 2 2m 1T i 0 i 4 T/2 Cim 2 i 0 Tm 0j 1 1 T T m ul T 1 T a jt j sin k t dt j 1 0 m ul 3T / 2 m ul a jt j cos k t dt a jt j sin k t dt j 1 T/2 j 1 0 a jt j sin k t dt 2 3T / 2 m ul T/2 m a jt j cos k t dt j 1 i 3 T/2 a jt j cos k t dt 2 j 1 a jt j sin k t dt ul m iT / 2 a jt jdt j 1 m ul i 1T/2 a jt j cos k t dt j 1 Представимо адитивну неперіодичну заваду рядом виду n a jt j n 3 j 0 a jt j an 2tn 2 an 1tn 1 antn (1-0) j 1 1.Для складової ряду (1-0) antn доведемо, що справедлива тотожність: i 3 T/2 antn sin k t dt iT / 2 , i 1T/2 ul i 4 T/2 Cin 2 ul sin t dt 0 j 1 i 4 T/2 Cim 2 tm q sin t dt i 1T/2 T T 2 i 3 T/2 m Отримані значення амплітуд синфазної Uk(sin) і квадратурної Uk(cos) складових k-oї гармоніки сигналу на виході об'єкта, який досліджується, подають на індикатор И8. Математичний доказ факту ослаблення адитивної неперіодичної завади при аналізі частотних характеристик за даним способом. n 2 iT / 2 а у випадку m 2 , амплітуди синфазної і квадратурної складових парної k-οї гармоніки визначають за формулами: ul iT / 2 i 3 T/2 tm q sin t dt 2 0 Uk sin а у випадку m=1, коефіцієнт a1 апроксимуючого полінома визначають за формулою: Uk sin i 4 T/2 Cim 3 q ul sin t dt T/ am j 1tm j 1 sin t dt i 1T/2j 1 коефіцієнт a0 апроксимуючого полінома визначають за формулою: T 0 i 3 T/2 q T амплітуди синфазної Uk(sin) і квадратурної Uk(cos) складових парної k-οї гармоніки, у випадку m=1, визначають за формулами: , a jt j sin t dt U1 sin am j 1tm j 1 sin t dt 2 T/ a0 T / T m tm sin t dt i 1T/2 ul sin t dt ul sin t d U1 sin T T/2 2 , tm sin t dt 2 T 3T / 2 0 U1 sin 2m 2 T t dt i 3 T/2 j 1 a1 a jt j sin t dt а у випадку m=2, коефіцієнт a2 апроксимуючого полінома визначають за формулою: a2 ul sin i 1T/2 iT / 2 U1 sin T2 / T Cim 3 i 0 i 1T/2 3T / 2 t dt 2 i 4 T/2 iT / 2 i 3 T/2 де q=1,2,3,...,m-3, коефіцієнт a2 апроксимуючого полінома, у випадку m>2, визначають за формулою: a2 ul sin iT / 2 i 4 T/2 q Cim 3 q i 0 tm q sin t dt 2 i 0 m 3 q U1 sin 2m 2 q T ul sin t dt i 3 T/2 коефіцієнти aj (j=3,4,5,...m-1) апроксимуючого полінома, у випадку m>3, визначають за формулами: i 1T/2 Cim 3 q ul sin t dt m 3 коефіцієнти, i 3 T/2 ul sin t dt 2 iT / 2 T Cim 3 i 0 Cim 3 q i 0 i 4 T/2 i 0 am Коефіцієнти aj (j=0,1,3,...,m) визначають рекурентне, а саме, коефіцієнт аm апроксимуючого полінома, у випадку m>2, визначають за формулою: m 3 q 8 i 3 T/2 ul cos k t dt 2 Cim 2 m 2! , i! m 2 i ! де 65174 antn sin k t dt 2 i 1T/2 виходячи з залежності [4, с.231], маємо: 0 (1-1) 9 65174 i 4 T/2 tn sin k t dt an iT / 2 n 1 /2 1j j 0 n/2 1j j 0 n 1 /2 1 k 1j j 0 n 2j T 2 2j 1 1 k 1 j n/2 n! k n 2j i 4 n 2j cos ki n 2j ! k4 k4 in 2 j 1 sin ki n 2j 1 ! 1j tn sin k t dt T 2 an i 1T/2 n 1 /2 1j j 0 1j j 0 n 1 /2 1 k 1j j 0 n! k 2j 1 1 k 2j 2j 1 1 k T 2 cos ki n 2j ! 4 n 2 j 1 in 2 j 1 n 2 j in 2 j sin ki 4 n 2j i cos ki n 2j ! n/2 n! k 1j j 0 n 2j 1 T 2 n 2j T 2 4 n 2j i n 2j 1 ! 2j 1 k T 2 n 2 j in 2 j n 2j 1 i T 2 i 3 T/2 T 2 i 3 n 2j 1 sin ki n 2j 1 ! i 1 n 2j cos ki n 2j ! n 2j 1 2j 1 k n 2j i 3 n 2j cos ki n 2j ! k3 k3 k i 1 n 2j 1 sin ki n 2j 1 ! k (1-3) n/2 1j j 0 n 1 /2 1j j 0 n! an k i 4 n 2j 1 sin ki n 2j 1 ! n 2j 1 2j 2j 1 1 k j 0 an an T 2 in 2 j cos ki n 2j ! T 2 1 k 1j j 0 j 0 n/2 j 0 n 2j 1 T 2 2j 1 k 1j (1-2) n 1 /2 an 2j n/2 n! k an 2j 1 1 k n/2 n! k an 10 1 1 k 2j 1 1 k n/2 2j j j 0 T 2 2j 1 k T 2 i 1 n 2j n 2j i 3 n 2j cos ki n 2j ! 3 n 2j 1 n 2j 1 i i 1 n 2j 1 n 2j 1 ! T 2 i 1 n 2j n 2j k sin ki k i 3 n 2j cos ki n 2j ! k після перетворень (1-2) (1-3) залежність (1-1) для непарних k прийме наступний вигляд: n 2 i 4 T/2 Cin 2 i 0 i 3 T/2 antn sin k t dt iT / 2 n! n 2 i an C k i 0 n 2 n/2 2 j 0 1j 1 k antn sin k t dt 2 i 1T/2 1 i n/2 1 j 0 2j T 2 n 2j j 1 k 2j i 3 n 2j із властивості [5 с.131] випливає T 2 n 2 j in 2 j i 4 n 2j n 2j ! i 1 n 2j n 2j ! (1-4) 11 ann! n 2 i C k i 0 n 2 1i 65174 2j j/2 1j 1 n 2j ! k j 0 T 2 n 2j 2j n 2jn 2 an n / 2 n! 1 j 1 T Cin 2 k n 2j ! k 2 j 2 i 0 n 1n T 2 n 2n 2 i 0 i a n 2j 1 j i a n 2j T 2 1i i a n 2 Cin 2 12 nn 2 Cin 2 (1-5) 1i i a n i 0 беручи до уваги залежності [4, с.609] і, підставивши їх у залежність (1-5), одержимо 2j n/2 n! 1 j 1 n 2j ! k j 2 an k n 1n T 2 an 0 k n 2n 2 T 2 i 0 T 2 1i i a n 2 Cin 2 n 2 n 2 1 k 1 k 1 n 2! n T 2 1n nn 2 1i i a n Cin 2 i 0 (1-6) n T 2 n 1 n n! 1 j i a n 2j Cin 2 i 0 T n 1n 2 an k n 2jn 2 T 2 1 n n! 24 n! 3(n 2)2 24 3n 2 2 12a 1 n 2 12a 2 (12a 1)(n 2) 12a2 виходячи з (1-6), залежність (1-4) прийме вигляд: n! n 2 i C k i 0 n 2 n/2 1i n/2 an 2j 1 k 1j 2 j o an k T 2 n 2 T 2 2 T 2 2 T 2 an k T 2 1 k n 2 T 2 2 n 2 n j o 1 k n 1n 2j T 2 n 2 j in 2 j 4 n 2j i n 2j ! i 3 n 2j n 2j T 2 i 1 n 2j n 2j ! 1 n n! T 2 1 k 1 n n! T 2 1 k 1 n n! T 2 n! n 2 24 n! 37 n 2 24 n T 2 1 n n! 1n n 2 1 k 1j n 1n n n T 2 108 1n n! 3n 22 24 n! 3n 22 24 n 2 12 4 1 n 2 1n n! 3n 22 24 12 3 1 n 2 1n n! 3n 22 24 12 1 n 2 12 42 n 1n 2 T 2 n! 49 n 2 24 n 1n 12 32 12 192 n! 13 n 2 24 12 0 що доводить тотожність (1-1) для непарних k. 2. Для складової ряду (1-0) an-1tn-1 доведемо, що справедлива тотожність: n 2 i 0 i 4 T/2 Cin 2 i 3 T/2 an 1tn 1 sin k t dt iT / 2 an 1tn 1 sin k t dt 2 0 (2-1) i 1T/2 аналогічним чином застосовуючи до (2-1) перетворення, подібні (1-2), (1-3), (1-4), (1-5), (1-6), одержимо 13 n 2 65174 i 4 T/2 Cin 2 i 0 i 3 T/2 an 1tn 1 sin k t dt i 1T/2 n 1! n 2 i an 1 Cn 2 k i 0 2 j 1 j 0 an 1 T k 2 n 1 2an 1 T k 2 an 1tn 1 sin k t dt 2 iT / 2 n 1 /2 14 n 1 /2 1 j 0 2j 1 k T 2 n 2j 1 j 2j 1 k i 3 n 2j 1 T 2 i 4 n 2j 1 n 2j 1! i 1 n 2j 1 n 1 (2-2) n 2 n 1! 2 1n 4 n 2 2an 1 T n 1! 2 k 2 1n 3 n 2 j 1 in 2 j 1 n 2j 1! n 2 a T n 1! n 1 2 k 2 1n n 1 1 i n 1 1n 1 n 2 n 1! 0 2 3. Для складової ряду (1-0) an-2tn-2 доведемо, що справедлива тотожність: i 4 T/2 n 2 Cin 2 i 3 T/2 an 2tn 2 sin k t dt i 0 an 2tn 2 sin k t dt 2 iT / 2 0 (3-1) i 1T/2 аналогічним чином застосовуючи до (3-1) перетворення, подібні (1-2), (1-3), (1-4), (1-5), (1-6), одержимо n 2 i 4 T/2 Cin 2 i 3 T/2 an 2tn 2 sin k t dt i 0 iT / 2 n 2 an 2 T k 2 2an 2 T k 2 n 2 an 2tn 2 sin k t dt 2 i 1T/2 1n n 2 ! 1n n 2 ! an 2 T k 2 n 2 2an 2 T k 2 4. Для складових ряду (1-0) n 3 n 2 (3-2) 1n n 2 ! 1n n 2 ! 0 a jt j повторивши перетворення (1-2), (1-3), (1-4), (1-5), (1-6), одержимо j 0 n 2 Cin 2 i 0 i 4 T / 2n 3 iT / 2 a jt j sin k t dt 2 j 1 i 3 T / 2n 3 a jt j sin k t dt 0 (4-1) a jt j sin k t dt 0 (4-2) i 1T/2 j 1 На підставі (1-1) (2-1) (3-1) і (4-1) маємо: n 2 i 0 Cin 2 i 4 T/2 n iT / 2 a jt j sin k t dt 2 j 0 i 3 T/2 n i 1T/2 j 0 тобто представлена у виді апроксимуючого полінома степеня m, адитивна неперіодична завада в результаті дій, зазначених у формулі пропонованого винаходу, послаблюється, теоретично обертаючись в нуль. Джерела інформації: 1. Вавилов Α.Α., Солодовников А.И. Экспериментальное определение частотных характеристик исследуемых объектов - Μ. - Л., Госэнергоиздат, 1963. 2. Деклараційний патент України на винахід №40241Α, М.Кл. F04D27/00, 2001, Бюл. №6. 3. Авторское свидетельство СССР №813298, М.Кл. G01R23/16, 1981, БИ №10 4. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды - М.: Наука, 1981. 5. Г. Корн, Т. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М., Наука, 1968. 15 Комп’ютерна верстка Н. Лисенко 65174 Підписне 16 Тираж 26 прим. Міністерство освіти і науки України Державний департамент інтелектуальної власності, вул. Урицького, 45, м. Київ, МСП, 03680, Україна ДП “Український інститут промислової власності”, вул. Глазунова, 1, м. Київ – 42, 01601