Спосіб і пристрій для ультразвукового вимірювання змін діаметра кровоносної судини в реальному часі

1. Спосіб ультразвукового вимірювання змін діаметра кровоносної судини в реальному часі, що включає задавання площини сканування та множини напрямків зондування в площині сканування, періодичне випромінювання послідовності ультразвукових зондуючих імпульсів вздовж кожного з напрямків, безперервний прийом ультразвукових хвиль, що виникають при відбиттях кожного із зондуючих імпульсів, перетворення відбитих хвиль в електричні сигнали відгуку, їх підсилення, дискретизацію, квадратурну демодуляцію з виділенням низькочастотних комплексних сигналів відгуку, визначення різниці фаз сигналів відгуку, що формуються вздовж кожного з напрямків зондування одним і тим же вимірювальним об'ємом від суміжних зондуючих імпульсів, оцінки за різницею фаз аксіального переміщення і аксіальної швидкості руху відбивачів ультразвуку для кожного з напрямків зондування і визначення параметрів руху стінки кровоносної судини в залежності від зміни положення відбивачів ультразвуку у вимірювальному об'ємі, який відрізняється тим, що для кожного напрямку зондування задають множину ліній зондування, а оцінку аксіальних переміщень і аксіальних швидкостей руху відбивачів ультразвуку проводять для множини наперед визначених вимірювальних об'ємів на різних лініях зондуван 2 (19) 1 3 93171 4 слювачів змін діаметра, причому перший вихід запам'ятовуючого пристрою підключений до входів обчислювачів змін діаметра, а другий вихід запам'ятовуючого пристрою - до першого входу додатково введеного блока накопичення і усереднення даних, перший вхід якого з'єднаний з виходами обчислювачів змін діаметра, а вихід блока накопичення і усереднення даних - із входом пристрою відображення інформації. 6. Пристрій за п. 5, який відрізняється тим, що кількість обчислювачів змін діаметра дорівнює кількості напрямків зондування L. Винахід відноситься до ультразвукових систем і способів медичної діагностики, що використовують імпульсне ультразвукове зондування для визначення в реальному часі параметрів руху кровоносних судин, зокрема, до способів ультразвукового вимірювання в реальному часі руху стінок кровоносних судин і визначення на цій основі змін діаметру коронарних та інших артерій. В усіх відомих способах і пристроях для отримання інформації щодо структури і локальних рухів біологічного об'єкту за допомогою ультразвукового імпульсного зондування загальним є те, що шляхом дискретизації електричного сигналу відгуку, отриманого з відбитих ультразвукових хвиль, обирають деяку множину локальних областей досліджуваного об'єкту, що знаходяться на визначеній вздовж напрямку зондування глибині. Величина кожної області, що називається вимірювальним об'ємом, визначається тривалістю зондуючих ультразвукових імпульсів, ступенем фокусування пучків хвиль, що випромінюються та приймаються, передаточною характеристикою середовища та імпульсною характеристикою приймача діагностичної системи. Відомі способи і пристрої для вимірювання лінійних розмірів окремих структур біологічного об'єкту, зокрема, діаметру головки плоду людини [1], що використовують В-зображення, отримані шляхом оцінки амплітуди сигналів відгуку з вимірювальних об'ємів у визначеній площині при ультразвуковому імпульсному зондуванні. Спосіб з використанням В- зображення включає в себе завдавання площини сканування, напрямків зондування в площині сканування, множини ліній зондування вздовж цих напрямків, періодичне випромінювання вздовж кожної з ліній зондування послідовності зондуючих ультразвукових імпульсів, безперервний прийом ультразвукових хвиль, що виникають при відбиттях кожного з імпульсів, перетворення відбитих хвиль в електричні сигнали відгуку, їх підсилення, дискретизацію, квадратурну демодуляцію з виділенням низькочастотних комплексних сигналів відгуку, обчислення амплітуди низькочастотних сигналів відгуку від вимірювальних об'ємів вздовж кожної з ліній зондування, визначення за даними про амплітуду відгуку просторового розташування біологічного об'єкту в площині зондування і вимірювання лінійних розмірів об'єкту за даними про просторове розташування його зовнішніх границь в площині зондування. При вимірюванні діаметру кровоносної судини за В-зображеннями її стінок можливі різні розташування площини зондування відносно вісі судини. Якщо вісь судини лежить в площині сканування, то можливе найбільш точне визначення діаметру судини шляхом використання усереднених даних щодо розташування великої кількості вимірювальних об'ємів, які відповідають ближній та дальній, відносно ультразвукового перетворювача, стінкам судини. При зондуванні будь-яких суцільних середовищ сигнали відгуку мають форму синусоїди з несучої радіочастотою та шумоподібною амплітуднофазовою модуляцією. Амплітудна складова цієї модуляції, відома як спекл-шум, призводить до погіршення якості В-зображень і, відповідно, до погіршення точності визначення лінійних розмірів біологічних об'єктів і, зокрема, діаметру судин. Використання усереднених даних щодо розташування великої кількості вимірювальних об'ємів, які відповідають ближній та дальній стінкам кровоносної судини, знижує вплив спекл-шумів на точність вимірювань діаметру. В той же час добитися точного та постійного у часі суміщення площини сканування з віссю судини на практиці є вельми складним внаслідок взаємних переміщень ультразвукового перетворювача та кровоносної судини. Тому відомі запропоновані спосіб і пристрій для вимірювання діаметру артерій з використанням косих перерізів артерії площиною сканування [2]. У загальному випадку такі перерізи уявляють собою еліпси, границі котрих також містять достатньо інформації для визначення діаметру артерії у найбільш простому, наприклад, параболічному наближенні. Недоліком вищезазначених способів вимірювання діаметру кровоносної судини є низька точність визначення розташування стінок кровоносної судини, що обумовлено низькою точністю визначення амплітуди низькочастотних сигналів відгуку від вимірювальних об'ємів вздовж кожної з ліній зондування. Відомий спосіб і пристрій ультразвукового імпульсного визначення розташування стінок судини та вимірювання її діаметру [3], що використовує радіочастотні електричні сигнали відгуку. Спосіб включає в себе завдавання площини сканування, напрямків зондування в площині сканування, множини ліній зондування вздовж цих напрямків, періодичне випромінювання вздовж кожної з ліній зондування послідовності зондуючих ультразвукових імпульсів, безперервний прийом ультразвукових хвиль, що виникають при відбиттях кожного з імпульсів, перетворення відбитих хвиль в електричні сигнали відгуку, їх підсилення, дискретизацію, фільтрацію за алгоритмом обертання згортки для виділення радіочастотних сигналів відгуку від біологічних тканин і знешкодження впливу форми зондуючи імпульсів, обчислення дисперсії амплітуди радіочастотного сигналу відгуку від біологіч 5 93171 них тканин вздовж кожної лінії зондування, визначення за даними про дисперсію амплітуди радіочастотного сигналу відгуку розташування стінок кровоносної судини вздовж кожної лінії зондування і вимірювання діаметру судини як різниці між координатами стінок судини вздовж кожної лінії зондування. Головним недоліком запропонованого способу є те, що його реалізація для вимірювань в реальному часі потребує при швидких рухах стінок кровоносної судини та зміні її діаметру великої обчислювальної потужності внаслідок високої частоти дискретизації радіочастотних сигналів відгуку. Від частоти дискретизації залежить, у свою чергу, точність виділення радіочастотних сигналів відгуку від біологічних тканин і обчислення дисперсії амплітуди цих сигналів. В техніці вимірювання в реальному часі параметрів руху біологічних об'єктів, включно з рухами стінок кровоносних судин, найбільш інформативною є фазова складова сигналів відгуку. Відомі крос-кореляційні на радіочастоті способи і пристрої ультразвукового імпульсного вимірювання величини переміщень [4]. Крос-кореляційний спосіб на радіочастоті включає в себе завдавання напрямку зондування χ, періодичне випромінювання вздовж цього напрямку послідовності зондуючих ультразвукових імпульсів, безперервний прийом ультразвукових хвиль, що виникають при відбиттях кожного з імпульсів, перетворення відбитих хвиль в електричні сигнали відгуку, їх підсилення, дискретизацію, обчислення кроскореляційної функції сигналів відгуку від суміжних імпульсів зондування, визначення часового зсуву сигналу відгуку згідно із положенням максимуму крос-кореляційної функції, оцінку аксіального переміщення за відомою швидкістю с ультразвуку х=с /2 (1) і аксіальної швидкості x руху відбивачів ультразвуку в обраному вимірювальному об'ємі: x= x/Τ (2) де T - період зондування вимірювального об'єму. Головним недоліком зазначеного способу є те, що його реалізація в реальному часі потребує великої обчислювальної потужності внаслідок високої частоти дискретизації радіочастотних сигналів відгуку. Від частоти дискретизації у цьому способі залежить точність визначення положення максимуму крос-кореляційної функції. З цієї причини часто для вимірювання в реальному часі малих за амплітудою рухів і вібрацій біологічних тканин використовують способи і ультразвукові діагностичні пристрої [5], що побудовані на так званому автокореляційному алгоритмі обчислень. Відповідно із зазначеним автокореляційним способом здійснюють завдавання напрямку зондування, періодичне випромінювання вздовж цього напрямку послідовності зондуючих ультразвукових імпульсів, безперервний прийом ультразвукових хвиль, що виникають при відбиттях кожно 6 го з імпульсів, перетворення відбитих хвиль в електричні сигнали відгуку, їх підсилення, дискретизацію, квадратурну демодуляцію з виділенням низькочастотного комплексного сигналу відгуку, обчислення автокореляційної функції для послідовності дискретних значень сигналів відгуку, що формуються одним і тим же заданим вимірювальним об'ємом від суміжних імпульсів зондування, визначення різниці фаз сигналів відгуку, що формуються одним і тим же заданим вимірювальним об'ємом від суміжних імпульсів зондування, та обчислення аксіального переміщення і аксіальної швидкості руху відбивачів ультразвуку за зазначеною різницею фаз. В описаному способі різниця фаз являє собою аргумент комплексної автокореляційної функції для послідовності дискретних значень сигналу відгуку, що формується заданим вимірювальним об'ємом, із зсувом на ціле число періодів зондування Τ цього об'єму. Аксіальне переміщення відбивачів ультразвуку у вимірювальному об'ємі між двома зондуваннями пов'язане з різницею фаз відомим співвідношенням x=с /2= (3) /2k де k= /с - хвильове число, - циклічна частота ультразвуку. Різниці фаз, що обчислена при зсуві автокореляційної функції в один період зондування, відповідає аксіальна швидкість x=-c (4) /p2 T яка виходить безпосередньо з виразу (2) шляхом підстановки в нього формули (3). Обчислення різниці фаз з використанням автокореляційної функції підвищує точність її визначення завдяки усередненню у часі. Для додаткового підвищення точності вимірювання різниці фаз і, відповідно, амплітуди малих рухів окрім усереднення за часом виконують також просторове усереднення кореляційної функції. При обчисленні автокореляційної функції беруть різні за числом зондувань N послідовності дискретних значень низькочастотного комплексного сигналу відгуку. В медичних застосуваннях використовують число зондувань N від 4 до 32, що забезпечує достатнє усереднення різниці фаз для переважної більшості діагностичних методик. У відповідності із зазначеним відомим винаходом інформація про малі переміщення об'єкту може бути отримана безпосередньо з формули (3) шляхом аналізу залежності від часу переміщень, що здійснюються між двома суміжними зондуваннями: x(t+Τ)-x(t)= x(t)=-c (t)/2 (5) При цьому припускають, що повне аксіальне переміщення l t/T xt x lT l 0 (6) 7 за час t може бути великою величиною, що відображає переважно вібрації об'єкту з великою амплітудою. Недоліком запропонованих способів є низька точність вимірювання в реальному часі зміни розмірів об'єкту, зокрема, зміни діаметру кровоносної судини внаслідок можливих переміщень і обертань судини як цілого відносно ультразвукового перетворювача в площині, що є перпендикулярною до напрямку зондування. Найбільш близьким за технічним рішенням до способу і пристрою, що пропонуються, є спосіб і ультразвуковий діагностичний пристрій для вимірювання руху стінок артерій та крові [6]. Запропонований спосіб включає в себе завдавання площини сканування, множини напрямків зондування в площині сканування, періодичне випромінювання вздовж кожного з напрямків послідовності зондуючих ультразвукових імпульсів, безперервний прийом ультразвукових хвиль, що виникають при відбиттях кожного з імпульсів, перетворення відбитих хвиль в електричні сигнали відгуку, їх підсилення, дискретизацію, квадратурну демодуляцію з виділенням низькочастотних комплексних сигналів відгуку, визначення різниці фаз сигналів відгуку, що формуються одним і тим же вимірювальним об'ємом від суміжних імпульсів зондування для кожного напрямку зондування, оцінки за різницею фаз аксіального переміщення і аксіальної швидкості руху відбивачів ультразвуку для кожного з напрямків зондування і визначення параметрів руху стінки кровоносної судини на основі даних щодо зміни положення відбивачів ультразвуку у вимірювальному об'ємі. Використання у найближчому аналогу інформації від множини напрямків зондування в площині сканування дозволяє встановити проекцію повного вектора переміщення відбивачів ультразвуку у вимірювальному об'ємі на площину сканування. Останнє підвищує точність вимірювання абсолютної величини локального переміщення і модуля швидкості руху стінок артерій, що в свою чергу підвищує точність визначення в реальному часі зміни діаметру артерій. Недоліком цього способу є низька точність вимірювання в реальному часі зміни діаметру артерій внаслідок можливих взаємних переміщень і обертань судини, як цілого, відносно ультразвукового перетворювача у напрямку, перпендикулярному до вісі судини в площині, що є перпендикулярною до площини сканування. На Фіг. 1 схематично зображене взаємне розташування стінок кровоносної судини та площини сканування при косому перерізі кровоносної судини площиною сканування, що проходить перпендикулярно до площини креслення через вісь z. Пунктирна лінія на кресленні уявляє собою вісь кровоносної судини. Спосіб, прийнятий за найближчий аналог, забезпечує найбільш точне визначення проекцій переміщень та швидкостей руху, наприклад, у точках А і В стінок судини на площину сканування. В той же час найбільш точним буде визначення зміни діаметру з використанням даних щодо переміщень у тих вимірювальних об'ємах, 93171 8 які розташовані вздовж лінії зондування, що проходить через точку О, і відповідають ближній та дальній, відносно ультразвукового перетворювача, стінкам судини вздовж напрямку зондування. Штрих-пунктирною лінією показане розташування площини сканування після паралельного переміщенні ультразвукового перетворювача або судини вздовж, наприклад, вісі у. Легко бачити, що та ж сама лінія зондування в площині сканування буде проходити тепер через точку О' і не перетне вісь судини. Найбільшу точність вимірювання змін діаметру можна отримати у цьому випадку за даними від лінії зондування, яка проходить через точку О''. Положення цієї точки заздалегідь невідомо внаслідок випадкового характеру рухів перетворювача і рухів кровоносної судини, як цілого, при битті серця. Аналогічна картина спостерігатиметься у випадку невеликих обертань артерії, наприклад, навкруги точки С, які також можливі при проходженні пульсової хвилі по артерії. Відзначимо, що тільки переміщення судини вздовж її вісі не призведе до заміни лінії зондування, яка забезпечує найбільшу точність вимірювання змін діаметру судини. В основу винаходу поставлена задача створення способу ультразвукового вимірювання змін діаметру кровоносної судини, який дозволяє за рахунок аналізу параметрів руху відбивачів ультразвуку у вимірювальних об'ємах різних ліній зондування неінвазивно вимірювати в реальному часі зміни діаметру кровоносної судини незалежно від можливих взаємних обертань і переміщень судини як цілого відносно ультразвукового перетворювача у напрямку, перпендикулярному до вісі судини в площині, що є перпендикулярною до площини сканування. Поставлена задача вирішується тим, що у способі, прийнятому за найближчий аналог, який включає: завдавання площини сканування та множини напрямків зондування в площині сканування, періодичне випромінювання послідовності ультразвукових зондуючих імпульсів вздовж кожного з напрямків, безперервний прийом ультразвукових хвиль, що виникають при відбиттях кожного із зондуючих імпульсів, перетворення відбитих хвиль в електричні сигнали відгуку, їх підсилення, дискретизацію, квадратурну демодуляцію з виділенням низькочастотних комплексних сигналів відгуку, визначення різниці фаз сигналів відгуку, що формуються вздовж кожного з напрямків зондування одним і тим же вимірювальним об'ємом від суміжних зондуючих імпульсів, оцінки за різницею фаз аксіального переміщення і аксіальної швидкості руху відбивачів ультразвуку для кожного з напрямків зондування і визначення параметрів руху стінки кровоносної судини в залежності від зміни положення відбивачів ультразвуку у вимірювальному об'ємі, згідно з винаходом для кожного напрямку зондування завдають множину ліній зондування, а оцінку аксіальних переміщень і аксіальних швидкостей руху відбивачів ультразвуку проводять для множини наперед визначених вимірювальних об'ємів на різних лініях зондування, причому відображення результатів ультразвукового вимірю 9 вання змін діаметру кровоносної судини здійснюють у вигляді оцінки аксіальних переміщень стінок судини, у вигляді оцінки зміни діаметру судини, або у вигляді оцінки переміщень стінок судини і змін діаметру судини. Крім того, при вимірюванні аксіального переміщення ближньої або дальньої відносно ультразвукового перетворювача стінки кровоносної судини дотримують умови М=K, де Μ - кількість вимірювальних об'ємів, а K 3 - кількість ліній зондування для кожного напрямку зондування, причому вимірювальні об'єми розташовують вздовж обраного напрямку на рівних відстанях між собою, а при вимірюванні змін діаметру кровоносної судини дотримують умови М=2K, причому K вимірювальних об'ємів розташовують біля ближньої відносно ультразвукового перетворювача стінки судини і K вимірювальних об'ємів - біля дальньої стінки судини. Відстань між крайніми лініями зондування для кожного напрямку зондування має визначатися за діаметром кровоносної судини і розміром вимірювального об'єму у аксіальному напрямку. Кількість напрямків зондування L, а також кількість ліній зондування для кожного напрямку зондування K обирається з міркувань заданої точності вимірювання середніх переміщень стінок судини і середніх змін діаметру судини. У пристрою, прийнятому за найближчий аналог, який містить послідовно з'єднані передавач, ультразвуковий перетворювач, приймач, який здійснює підсилення, дискретизацію та квадратурну демодуляцію з виділенням низькочастотних комплексних сигналів відгуку, блок пам'яті вимірювача різниці фаз, вимірювач різниці фаз, блок аналізу даних, що містить обчислювач переміщень, а також пристрій для відображення інформації, згідно з винаходом, блок аналізу даних додатково містить послідовно з'єднаний з обчислювачем переміщень запам'ятовуючий пристрій і ряд обчислювачів змін діаметру, причому перший вихід запам'ятовуючого пристрою підключений до входів обчислювачів змін діаметру, а другий вихід запам'ятовуючого пристрою - до першого входу додатково введеного блоку накопичення і усереднення даних, перший вхід якого з'єднаний з виходами обчислювачів змін діаметру, а вихід блоку накопичення і усереднення даних - зі входом пристрою відображення інформації. При цьому кількість обчислювачів змін діаметру має дорівнювати кількості напрямків зондування L. Введення у відомий пристрій зазначених додаткових елементів та зв'язків дозволяє реалізувати запропонований спосіб ультразвукового вимірювання змін діаметру кровоносної судини в реальному часі і тим самим забезпечити неінвазивне вимірювання зміни діаметру кровоносної судини незалежно від можливих взаємних обертань і переміщень судини як цілого відносно ультразвукового перетворювача у напрямку, перпендикулярному до вісі судини в площині, що є перпендикулярною до площини сканування. Сутність запропонованого винаходу також пояснюється ілюстраціями Фіг. 2-Фіг. 4. 93171 10 На Фіг. 2 показана блок-схема пристрою для ультразвукового вимірювання зміни діаметру кровоносної судини. На Фіг. 3 схематично зображене взаємне розташування ультразвукового перетворювача, кругового перерізу кровоносної судини та різних напрямків і ліній зондування в площині сканування. На Фіг. 4 представлене аксіальне переміщення χ стінки кровоносної судини у різних вимірювальних об'ємах при круговому та косому еліптичному перерізі судини площиною сканування. Спосіб ультразвукового вимірювання змін діаметру кровоносної судини включає в себе завдавання площини сканування, множини напрямків зондування в площині сканування і ліній зондування вздовж кожного напрямку, періодичне випромінювання вздовж кожної лінії зондування послідовності зондуючих ультразвукових імпульсів, безперервний прийом відбитих ультразвукових хвиль і їх перетворення в електричні сигнали відгуку достатньої амплітуди, квадратурна демодуляція яких дозволяє виділити низькочастотні комплексні сигнали відгуку, різниця фаз яких обчислюється для кожного з обраних вимірювальних об'ємів вздовж різних ліній зондування і містить інформацію щодо параметрів руху відбивачів ультразвуку і переміщеннях стінок кровоносної судини між суміжними імпульсами зондування, що у свою чергу дає змогу оцінити зміни діаметру судини, зареєстровані з різних напрямків зондування, отримати усереднені дані щодо параметрів руху та змін діаметру і відобразити отриману інформацію в реальному часі. Блок-схема пристрою для ультразвукового вимірювання змін діаметру кровоносної судини в реальному часі (Фіг. 2) містить передавач 1, ультразвуковий перетворювач 2, приймач 3, гетеродин 4, блок пам'яті вимірювача різниці фаз 5, вимірювач різниці фаз 6, обчислювач переміщень 7, запам'ятовуючий пристрій 8, обчислювачі змін діаметру 9, блок накопичення і усереднення даних 10 та пристрій відображення інформації 11. Пристрій працює наступним чином. Передавач 1 генерує імпульсний періодичний сигнал, який перетворюється в ультразвуковому перетворювачі 2 на періодичну послідовність зондуючих сфокусованих ультразвукових імпульсів з несучою частотою , що випромінюються послідовно вздовж кожної лінії зондування у кожному із обраних напрямків в площині зондування. Відбиті ультразвукові хвилі приймаються ультразвуковим перетворювачем 2 і перетворюються в електричні сигнали відгуку, які надходять до приймача 3, де посилюються до необхідної для квадратурної демодуляції величини. На другий вхід приймача 3 надходить комплексний сигнал гетеродину 4, який містить дві гармонійні квадратурні складові з частотою , що зсунуті по фазі друг відносно друга на /2. В приймачі 3 з використанням комплексного сигналу гетеродина 4 здійснюється квадратурна демодуляція сигналу відгуку. На виході квадратурного демодулятору приймача 3 формуються низькочастотні комплексні сигнали відгуку у вигляді двох квадратурних складових для зондуючих імпульсів кожної лінії 11 93171 зондування у кожному напрямку зондування. В приймачі 3 здійснюється також аналого-цифрове перетворення сигналів. З виходу приймача 3 дискретні відгуки низькочастотних комплексних сигналів відгуку поступають на вхід блоку пам'яті вимірювача різниці фаз 5, де зберігаються до наступного зондування вздовж певної лінії, та на вхід вимірювача різниці фаз 6. У вимірювачі різниці фаз 6 за даними поточного та попереднього зондування, що надходить з блоку пам'яті вимірювача різниці фаз 5, визначається різниця фаз сигналів відгуку, яка формується кожним з наперед заданих вимірювальних об'ємів за проміжок часу між суміжними зондуваннями вздовж даної лінії зондування. Обчислення різниці фаз може реалізуватися любим з відомих способів, включно із низькочастотним крос-кореляційним, автокореляційним або автокореляційним з усередненням по простору. Обчислені у вимірювачі різниці фаз 6 для кожного із заданих вимірювальних об'ємів значення різниці фаз передаються до обчислювача переміщень 7 блока аналізу даних, де у відповідності з формулою (5) слугують для винайдення аксіальних переміщень між суміжними зондуваннями. Ці дані для кожної лінії зондування при заданому напрямку і глибині зондування, як це схематично показано на Фіг. 3, зберігаються в запам'ятовуючому пристрої 8, куди надходять. Обчислювачі змін діаметру 9, що містяться в блоці аналізу даних, отримують із запам'ятовуючого пристрою 8 дані щодо аксіальних переміщень при різних напрямках зондування. Внаслідок випадкових взаємних переміщень ультразвукового перетворювача і кровоносної судини при заданому напрямку зондування жодна з ліній зондування може не співпадати з лінією, що проходить через вісь судини, як це показано на Фіг. 4. При круговому перерізі площиною сканування повне аксіальне переміщення стінки судини між суміжними зондуваннями дається виразом x X X R 1 R cos z2 R' 2 u 1 x u0 u x 1 x0 1 x 1 x0 1 x D 1 1 a D 1 d 2 (8) R' 2 a2 (9) R' 2 a D 1 d R' 2 (10) 2 де a-d, а і a+d- координати ліній зондування відносно лінії, що проходить через вісь судини, так що d - це відстань між суміжними лініями зондування, а індекс i=0,±1 нумерує лінії зондування. Система рівнянь (8)-(10) має аналітичний розв'язок відносно невідомих R, R' і а, який для величини зміни діаметру кровоносної судини має вигляд D u0 1 2 1 u0 2 u 8 u0 2 2 u u 2 2 1 2 1 u 2 1 0 (11) Розв'язок (11) можна спростити з урахуванням сильної нерівності d