Спосіб визначення параметрів нелінійної дисипативної коливної системи

Реферат: UA 71755 U UA 71755 U 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 Корисна модель належить до області машинобудівної, авіаційної і ракетно-космічної техніки, а саме, до способів визначення інерційно-жорсткісних і дисипативних параметрів нелінійних коливних систем із кінцевим числом ступенів вільності і може знайти застосування для визначення моментів інерції механічних коливних систем при застосуванні джерела енергії обмеженої потужності. Відомий спосіб визначення параметрів нелінійної дисипативної коливної системи, за яким задають перше початкове і перше кінцеве значення амплітуди затухаючих коливань нелінійної дисипативної коливної системи, проводять вимір першого часового інтервалу і число циклів коливань в цьому інтервалі при зміні амплітуди затухаючих коливань від першого початкового до першого кінцевого значення, далі задають друге початкове і друге кінцеве значення амплітуди затухаючих коливань, проводять вимір другого часового інтервалу і число циклів коливань в цьому часовому інтервалі при зміні амплітуди затухаючих коливань від другого початкового до другого кінцевого значення, потім один раз змінюють інерційність нелінійної дисипативної коливної системи і проводять вищевказану сукупність операцій по визначенню першого і другого часових інтервалів і числа циклів коливань в цих інтервалах при зміні амплітуди коливань від її першого початкового значення до першого кінцевого значення, від другого початкового значення до другого кінцевого значення відповідно, додатково другий раз змінюють інерційність нелінійної дисипативної коливної системи і проводять вищевказану сукупність операцій по визначенню першого і другого часових інтервалів і чисел циклів коливань в цих часових інтервалах при зміні амплітуди коливань від її першого початкового значення до першого кінцевого значення, від другого початкового значення до другого кінцевого значення відповідно (Патент України на корисну модель № 45033, МПК G01Н 11/00, 2009). Недолік відомого способу визначення параметрів нелінійної коливної системи є можливість визначення параметрів сильно дисипативної нелінійної коливної системи при застосуванні ідеального джерела енергії і неможливість визначення параметрів сильно дисипативної нелінійної коливної системи при застосуванні джерела енергії обмеженої потужності. За прототип вибрано спосіб визначення параметрів нелінійної дисипативної коливної системи, за яким формують шість режимів коливань нелінійної дисипативної коливної системи, в першому і другому режимах задають перше початкове і перше кінцеве, друге початкове і друге кінцеве значення амплітуди коливань відповідно, вимірюють перший і другий часові інтервали і числа циклів коливань в першому і другому часових інтервалах відповідно, перший раз змінюють інерційність нелінійної дисипативної коливної системи і проводять вищевказану сукупність операцій по визначенню третього і четвертого часових інтервалів і чисел циклів коливань в цих часових інтервалах при зміні амплітуди коливань від першого початкового значення до першого кінцевого значення, від другого початкового значення до другого кінцевого значення відповідно, другий раз змінюють інерційність нелінійної дисипативної коливної системи і проводять вищевказану сукупність операцій по визначенню п'ятого і шостого часових інтервалів і чисел циклів коливань в цих часових інтервалах при зміні амплітуди коливань від першого початкового значення до першого кінцевого значення, від другого початкового значення до другого кінцевого значення, формують шість режимів коливань, як режимів вимушених коливань, в кожному із шести режимів коливань фіксують значення нижніх і верхніх частот діапазонів частот, що відповідають змінам амплітуд вимушених коливань від першого початкового значення до першого кінцевого значення в першому, третьому і п'ятому режимах, від другого початкового до другого кінцевого значення в другому, четвертому і шостому режимах, причому зміну частоти сигналу вимушеної дії проводять із першою, другою, третьою, четвертою, п'ятою і шостою швидкостями для першого, другого, третього, четвертого, п'ятого, шостого режимів відповідно, визначають значення частот 0s вільних коливань лінійної породжувальної системи, інерційно-жорсткісних параметрів ms , c s по S-ій нормальній координаті (Патент України на корисну модель №56369, МПК G01Н 11/00, 2010). Недоліком відомого способу визначення параметрів нелінійної дисипативної коливної системи є недостатня точність, а тому і обмежена область використання, що пояснюється неврахуванням випадкових похибок при вимірюванні і реєстрації масивів (множин) часових інтервалів, чисел циклів коливань в цих часових інтервалах, нижніх і верхніх частот діапазонів частот, що відповідають зміні амплітуд вимушених коливань від початкових значень до кінцевих значень. В основу корисної моделі поставлене завдання удосконалення способу визначення (оцінки) параметрів нелінійної дисипативної коливної системи при застосуванні джерела енергії обмеженої потужності за рахунок урахування випадкових похибок при вимірюванні і реєстрації інформаційних масивів множин часових інтервалів, нижніх і верхніх частот діапазонів частот, що відповідають зміні амплітуд вимушених коливань від початкових значень до кінцевих значень за 1 UA 71755 U 5 10 15 20 25 30 35 40 рахунок формування нового алгоритму на підставі отриманих аналітичних співвідношень, що і розширює функціональні можливості способу і область його використання. Поставлена задача вирішується тим, що в способі визначення параметрів нелінійної дисипативної коливної системи, за яким формують шість режимів коливань нелінійної дисипативної коливної системи, в першому і другому режимах задають перше початкове і перше кінцеве значення, друге початкове і друге кінцеве значення амплітуди коливань відповідно, вимірюють перший і другий часові інтервали і числа циклів коливань в першому і другому часових інтервалах відповідно, перший раз змінюють інерційність нелінійної дисипативної коливної системи і проводять вищевказану сукупність операцій по визначенню третього і четвертого часових інтервалів і чисел циклів коливань в цих часових інтервалах при зміні амплітуди коливань від першого початкового значення до першого кінцевого значення, від другого початкового значення до другого кінцевого значень відповідно, другий раз змінюють інерційність нелінійної дисипативної коливної системи і проводять вищевказану сукупність операцій по визначенню п'ятого і шостого часових інтервалів і чисел циклів коливань в цих часових інтервалах при зміні амплітуди коливань від першого початкового значення до першого кінцевого значення, від другого початкового значення до другого кінцевого значення відповідно, формують шість режимів коливань, як режимів вимушених коливань, в кожному із шести режимів коливань фіксують значення нижніх і верхніх частот діапазонів частот, що відповідають змінам амплітуд вимушених коливань від першого початкового значення до першого кінцевого значення в першому, третьому і п'ятому режимах, від другого початкового до другого кінцевого значення в другому, четвертому і шостому режимах, причому зміну частоти сигналу вимушеної дії проводять із першою, другою, третьою, четвертою, п'ятою і шостою швидкостями для першого, другого, третього, четвертого, п'ятого, шостого режимів відповідно, згідно із корисною моделлю, додатково формують шість груп по «N-1» (N=3, 4, 5,...) режимів вимушених коливань нелінійної дисипативної коливної системи в кожній групі, в першій, третій і п'ятій групах режимів вимушених коливань задають перше початкове і перше кінцеве значення амплітуди вимушених коливань і проводять фіксацію і реєстрацію першої, третьої і п'ятої груп часових інтервалів по «N-1» значень в кожній групі часових інтервалів, першої, третьої і п'ятої груп чисел циклів коливань по «N-1» значень чисел циклів коливань в часових інтервалах кожної групи часових інтервалів відповідно, в другій, четвертій і шостій групах по «N-1» режимів вимушених коливань задають друге початкове і друге кінцеве значення амплітуди вимушених коливань і проводять фіксацію і реєстрацію другої, четвертої і шостої груп часових інтервалів по «N-1» значень в кожній групі часових інтервалів, другої, четвертої і шостої груп чисел циклів коливань по «N-1» значень в кожній групі чисел циклів, в кожній групі із шести груп режимів фіксують і реєструють значення шести груп значень нижніх частот діапазонів частот по «N-1» значень в кожній групі і шести груп значень верхніх частот діапазонів частот по «N-1» значень в кожній групі відповідно шести групам режимів вимушених коливань, притому зміну частоти сигналу збуджувальної дії в першому, другому, третьому, четвертому, п'ятому і шостому режимах проводять із першою, другою, третьою, четвертою, п'ятою і шостою швидкостями відповідно, проводять оцінки значень частот 1s , 0s вільних коливань лінійних дисипативної і консервативної породжувальних систем, інерційно-жорсткісних і дисипативних параметрів відповідно по S-ій нормальній координаті на підставі аналітичних співвідношень:         1s  {  1i t  2 i t2  n 2i  2i t   4i t   n 4i  4i t   2i t   3   i 1 i 1 i 1 i 1 i 1  i 1          cp2i 2 i t   4i t   cp 4i 2 i t   2i t    2 4   i 1 i 1 i 1  i 1            2i t  2 i t2  n1i 1i t   3i t   n 3i  3i t  1i t   4   i 1 i 1 i 1 i 1 i 1  i 1           cp1i 2i t   3i t   cp3i 2 i t  1i t  } * 1 3   i 1 i 1 i 1  i 1  45         i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 * {  1i t  2 i t  2 i t   4i t   2i t   2i t   3i t  2 i t } 1 ; 2 3 1 4 або 2 ms , c s , h s UA 71755 U         1s  {  2 i t  1i t2  n 2i  2i t   6i t   n 6i  6i t   2i t   5   i 1 i 1 i 1 i 1 i 1  i 1          cp2i 2 i t   6i t   cp6i 2 i t   2i t    2 6   i 1 i 1 i 1  i 1           2 i t   2i t2  n1i 1i t   5i t   n 5i  5i t  1i t   6   i 1 i 1 i 1 i 1 i 1  i 1          cp1i 2i t   5i t   cp5i 2 i t  1i t  } * 1 5   i 1 i 1 i 1  i 1          i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 * {  1i t  2 i t  2 i t   6i t   2i t   2i t   5i t  2 i t} 1 ; 2 5 1 6         1s  {  2i t   3i t2  n 2i  2i t   4i t   n 4i  4i t   2i t   1   i 1 i 1 i 1 i 1 i 1  i 1          cp2i 2 i t   4i t   cp 4i 2 i t   2i t    2 4   i 1 i 1 i 1  i 1  5          2 i t   4i t2  n1i 1i t   3i t   n 3i  3i t  1i t   2   i 1 i 1 i 1 i 1 i 1  i 1           cp1i 2i t   3i t   cp3i 2 i t  1i t  } * 1 3   i 1 i 1 i 1  i 1          i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 * {  1i t  2 i t  2 i t   4i t   2i t   2i t   3i t  2 i t } 1 ; 2 3 1 4 або         1s  {  2 i t   3i t2  n 4i  4i t   6i t   n 6i  6i t   4i t   5   i 1 i 1 i 1 i 1 i 1  i 1          cp 4i 2 i t   6i t   cp6i 2 i t   4i t    4 6   i 1 i 1 i 1  i 1           2 i t   4i t2  n 3i  3i t   5i t   n 5i  5i t   3i t   6   i 1 i 1 i 1 i 1 i 1  i 1           cp3i 2 i t   5i t   cp5i 2 i t   3i t  } * 3 5   i 1 i 1 i 1  i 1  10         i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 * {   3i t  2 i t  2 i t   6i t   2 i t   4i t   5i t  2 i t } 1 ; 4 5 3 6         1s  {  2i t   5i t2  n 2i  2i t   6i t   n 6i  6i t   2i t   1   i 1 i 1 i 1 i 1 i 1  i 1           cp2i 2 i t   6i t   cp6i 2 i t   2i t    2 6   i 1 i 1 i 1  i 1            2 i t   6i t2  n1i 1i t   5i t   n 5i  5i t  1i t   2   i 1 i 1 i 1 i 1 i 1  i 1          cp1i 2i t   5i t   cp5i 2 i t  1i t  } * 1 5   i 1 i 1 i 1  i 1  3 UA 71755 U         i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 * {  1i t  2 i t  2 i t   6i t   2i t   2i t   5i t  2 i t } 1 ; 2 5 1 6 або         1s  {  2 i t   5i t2  n 4i  4i t   6i t   n 6i  6i t   4i t   3   i 1 i 1 i 1 i 1 i 1  i 1           cp4i 2 i t   6i t   cp6i 2 i t   4i t    4 6   i 1 i 1 i 1  i 1           2 i t   6i t2  n 3i  3i t   5i t   n 5i  5i t   3i t   4   i 1 i 1 i 1 i 1 i 1  i 1          cp3i 2 i t   5i t   cp5i 2 i t   3i t  } * 3 5   i 1 i 1 i 1  i 1          i 1 5 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 * {   3i t  2 i t  2 i t   6i t   2 i t   4i t   5i t  2 i t } 1 ; 4 5 3 6  2 2      0s   1s  1s 1  m s 1m1  ;        або   2 2      0s   1s  1s 1  m s  2m1  ;             2  2   2  2   2 2          m s   1s  1s   1s  1s 1m 1   1s  1s  2m 1 ;                      2 2        c s   1s  1s  m s  m s  1m 1m1;         або   2 2      c s   1s  1s  m s  m s   2m 1m1;            10  hs  15 2 2 0s  1s ; де 1i t,  2i t,  3i t,  4i t,  5i t,  6i t, i  12..., N - перша, друга, третя, четверта, п'ята, шоста групи , часових інтервалів; n1i, n2i, n3i, n4i, n5i, n6i, (і = 1, 2,…, N) - перша, друга, третя, четверта, п'ята,шоста групи чисел циклів коливань у відповідних групах часових інтервалів; cp1i , cp2i , cp3i , cp4i , cp5i , cp6i - перша, друга, третя, четверта, п'ята,шоста групи діапазонів частот , ідо відповідають першій, другій,третій, четвертій, п'ятій і шостій групам часових інтервалів; cp1i  0,5 1i   1i , cp2i  0,5  2i   2i , cp3i  0,5  3i   3i , cp 4i  0,5  4i   4i , cp5i  0,5  5i   5i , cp6i  0,5  6i   6i ; 4 UA 71755 U 5 10 15 20 25 1i , 2i , 3i , 4i , 5i , 6i , - перша, друга, третя, четверта, п'ята і шоста групи нижніх частот ,що відповідають першій, другій, третій, четвертій,п'ятій і шостій групам діапазонів частот; 1i , 2i , 3i , 4i , 5i , 6i , - перша, друга, третя, четверта, п'ята і шоста групи верхніх частот, що відповідають першій, другій, третій, четвертій, п'ятій і шостій групам діапазонів частот. Застосування запропонованого способу визначення параметрів нелінійної дисипативної коливної системи разом з усіма суттєвими ознаками, включаючи відмінні, забезпечує розширення функціональних можливостей способу і області застосування за рахунок підвищення точності оцінки параметрів шляхом проведення нових технологічних і технічних операцій по вимірюванню і реєстрації інформаційних масивів шести груп режимів вимушених коливань, в кожному із шести режимів реєстрації по одній групі часових інтервалів і одній групі чисел циклів коливань коливної системи, а також фіксації і реєстрації в кожному із шести режимів вимушених коливань по одній групі значень нижніх частот діапазонів частот і по одній групі значень верхніх частот діапазонів частот відповідно групам режимів вимушених коливань, що дає підставу для формування нового алгоритму математичних перетворень, формуванню регресійних залежностей і застосуванню методу найменших квадратів, що і приводить до зменшення степені впливу випадкових помилок вимірювання і реєстрації інформаційних масивів даних на кінцевий результат визначення оцінок інерційно-жорсткісних параметрів нелінійної дисипативної коливної системи при застосуванні джерела енергії обмеженої потужності. Розробка нового алгоритму визначення (оцінки) параметрів нелінійної дисипативної коливної системи при застосуванні джерела енергії обмеженої потужності базується на наступних теоретичних перетвореннях. Для випадку урахування взаємодії джерела енергії обмеженої потужності із сильнодисипативною коливальною системою при застосуванні асимптотичного методу Крилова-Боголюбова-Митропольського система рівнянь пертого наближення приймає вигляд d a   h s  a  1 a  exp h s t ,  dt  d   1s  cp  1 a ,  dt  30 35 (1) де: 2  2  h2 ,  cp - середня частота по діапазону частот зміни амплітуди коливань. s s 1s (Пресняков В.К., Филер З.Е. Колебания механической системы, рассматриваемой совместно с двигателем. «Динамика и прочность машин», Харьков, изд-во Харьковского университета, - 1971.С.82; Кононенко В.О. Колебательные системы с ограниченным возбуждением, М: «Наука», - 1964. С. 30-35, 51-58; Кононенко В.О. Нелинейные колебания механических систем. Киев: «Наукова думка», - 1980. С. 90-93, 95-100, 126-130, 201-210; патент № 45033 України. МПК G01H 11/00; Бюл. №20, 2009р.). Система рівнянь (І) відповідає коливальній системі, диференційне рівняння для якої належить до класу d2 x dx  dx  2  0s x  f  x, , dt  dt  рішення якого X = Xasin  . Із системи рівнянь (1) отримаємо таке рівняння       d  1s t  cp t   expht  1 a d a    a h expht  1 a dt. 1 a  1 a  x  t  dt 2  2h s (2) (3) a На підставі співвідношення (3) отримаємо систему рівнянь 2n1  1s 1t  cp11t  t       expht  1 a d a    a expht  1 a dt ,  1 a  1 a  x t xa 2 2 a1 1 xa 4   xa 3 2n 2  1s  2 t  cp11t  1 2n3  1s  3 t  cp3  3 t  (4)  t4   t3 1  1 a 1 a  expht    d a    a expht     dt , (5) t       expht  1 a d a    a expht  1 a dt ,  1 a  1 a  x t (6) a xa 2 a 6 a1 5 5 UA 71755 U 2n 4  1s  4 t  cp4  4 t  t       expht  1 a d a    a expht  1 a dt ,  1 a  1 a  x t xa 4 8 a3 7 2n 6  1s  6 t  cp6  6 t  xa 2   x a1 2n5  1s  5 t  cp5  5 t  1 t10  t9 15 20 25 30 1  (8) t       expht  1 a d a    a expht  1 a dt ,  1 a  1 a  x t (9) a xa 4 a 12 a3 10   1 a 1 a  expht    d a    a expht     dt , 11  (10) де 1s  c s ms  1m 1s  c s ms   2m1  h s 2 , де: 1m,  2m1m   2m, 1m  ms ,  2m  ms  - перша і друга додаткові маси відповідно; n1 - число циклів вимушених коливань в часовому інтервалі Δ1t при зміні частоти вимушених коливань із першою постійною швидкістю V1 від першого початкового значення Хa1 до першого кінцевого значення Ха2 для маси m s; n2 - число циклів вимушених коливань в часовому інтервалі Δ2t при зміні частоти вимушених коливань із другою постійною швидкістю V 2 від другого початкового значення Хa3 до другого кінцевого значення Хa4 для маси ms; n3 - число циклів вимушених коливань в часовому інтервалі Δ3t при зміні частоти вимушених коливань із третьою постійною швидкістю V2 від першого початкового значення Хa1 до першого кінцевого значення Ха2 для маси (ms. + Δ1m) при першій зміні інерційності коливальної системи; n 4 - число циклів вимушених коливань в часовому інтервалі Δ4t при зміні частоти вимушених коливань із четвертою постійною швидкістю V4 від другого початкового значення Χa3 до другого кінцевого значення Хa4 для маси (m s+ Δ1m) при першій зміні інерційності; n5 - число циклів вимушених коливань в часовому інтервалі Δ5t при зміні частоти вимушених коливань із п'ятою постійною швидкістю V5 від першого початкового значення Χa1 до першого кінцевого значення Ха2 для маси (ms + Δ2m) при другій зміні інерційності; n 6 - число циклів вимушених коливань в часовому інтервалі Δ6t при зміні частоти вимушених коливань із шостою постійною швидкістю V6 від другого початкового значення Хa3 до другого кінцевого значення Хa4 для маси (ms+ Δ2m) при другій зміні інерційності; cp1, cp2 , cp3 , cp4 , cp5 , cp6 - середні частоти діапазонів частот,  c sms 1  h 2 , 1s  s 5 (7) 1   hs 2 , що відповідають часовим інтервалам 1t,  2 t,  3 t,  4 t,  5 t,  6 t відповідно і визначаються співвідношеннями:   3   5    1   2    4 cp1  1 ; cp2  2 ; cp3  3 ; cp 4  4 ; cp5  5 ; cp6 2 2 2 2 2 де: 1, 3 , 5 , 1, 3 , 5 - верхні і нижні частоти діапазонів частот, що відповідають зміні амплітуди вимушених коливань від першого початкового значення Хa1 до першого кінцевого значення Хa2; 2 , 4 , 6 , 2 , 4 , 6 - верхні і нижні частоти діапазонів частот, що відповідають зміні амплітуди вимушених коливань від другого початкового значення Хa3 до другого кінцевого значення Хa4. При реалізації режимів вимушених коливань нелінійної дисипативної коливної системи, проведенні вимірювань і реєстрації інформаційних масивів часових інтервалів, чисел циклів коливань в цих часових інтервалах, нижніх і верхніх частот діапазонів частот, що відповідають зміні амплітудних значень коливань від початкових значень до кінцевих значень мають місце випадкові похибки. Тому для урахування наявності випадкових похибок на підставі системи рівнянь (4), (5), (6), (7), (8), (9) сформуємо наступні мінімізуючі функції S 1, S2, S3, S4, S5, S6, а саме: S1  S2     x 2  1i   2n1i  1s 1i t  cp1i 1i t  x expht  a2 i 1  i 1  a1  1 a     t d a   2h a expht  1 a dt 2 t1 1 a  1 a  x   2i   2n 2i  1s  2i t  cp2i  2i t  x expht  2 a4 i 1 i 1 a3 (11) 1 a     t d a   4 h a expht  1 a dt 2 (12) t3 1 a  1 a           x t 2 S3    3i   2n3i  1s  3i t  cp3i  3i t   expht  1 a d a   h a expht  1 a dt 2 (13) x t 1 a  1 a  i 1 i 1 a2 a1 6 5          x t S 4    2i   2n 4i  1s  4i t  cp4i  4i t   expht  1 a d a   h a expht  1 a dt 2 (14) 4 x t 1 a  1 a  i 1 i 1 a4 6 8 a3 7 UA 71755 U S5   2   5i  i 1   x  2n5i  1s  5i t  cp5i  5i t  x i 1 a2 a1       t expht  1 a d a   h a expht  1 a dt 2 t 1 a  1 a  (15) 10 9         x t 2  S 6    6i  2n 6i  1s  6i t  cp6i  6i t   a 4 expht  1 a d a   12h a expht  1 a dt 2 .(16) xa 3 t11 1 a  1 a  i 1 i 1  Після   формування частинних S1 похідних  d 1s   , S 2  , d 1s S 3  d 1s , S 4  d 1s , S 5  d 1s , S 6 ,  d 1s  отримаємо систему рівнянь для визначення оцінок 1s , 1s , 1s , параметрів 1s , 1s ,  . 1s Для спрощення запису системи рівнянь (11) - (16) інтегральні складові будемо записувати 1 a  1 a   expht    d a    d a ,  h a expht    d a   dt. 1 a 1 a x    x  t  a 5 a a Hа підставі системи рівнянь (11), (12), (13), (14), (15), (16) маємо таку систему рівнянь:  xa 2  t2      2  n1i 1i t  1s  2i t   cp1i 2i t   1i t    d a   dt   0; 1 1   i 1 i 1 i 1 i 1 t1  x a1  xa 4  t4      2  n 2i  2i t  1s  2 i t   cp2i 2 i t    2i t    d a   dt   0; 2 2   i 1 i 1 i 1 i 1 t3 xa3   xa 2  t6     2  n 3i  3i t  1s  2 i t   cp3i 2 i t    3i t    d a   dt   0; 3 3   i 1 i 1 i 1 i 1 t5  x a1   xa 4  t8     2  n 4i  4i t  1s  2 i t   cp4i 2 i t    4i t    d a   dt   0; 4 4   i 1 i 1 i 1 i 1 t7  xa3    2  n 5i  5i t  1s i 1     x i 1 i 1 i 1 x t10 a1 t9   2 i t  6   cp6i 2 i t  6  a2 a1  2 n1i 1i t  1s  2i t   cp1i 2i t 1 1   2 n 3i  3i t  1s  2 i t   cp3i 2 i t 3 3  1i t .   3i t (19) (20)  x  t  6i t    d a   dt   0.    i 1 i 1 i 1 i 1 t x  Із рівнянь (17), (19) отримаємо таке рівняння  2  n 6i 1i t  1s (18)   2 i t   cp5i 2 i t    5i t    d a   dt   0; 5 5   a2 (17) (21) 12 (22) 11 (23) Із рівнянь (17), (21) отримаємо таке рівняння  2 n1i 1i t  1s  2i t   cp1i 2i t 1 1   2 n 5i  5i t  1s  2 i t   cp5i 2 i t 5 5  1i t .   5i t (24) Із рівнянь (19), (21) отримаємо таке рівняння  2 n3i  3i t  1s  2 i t   cp3i 2 i t 3 3     3i t .   5i t 2 n5i  5i t  1s  2 i t   cp5i 2 i t 5 5 Із рівнянь (18), (20) отримаємо таке рівняння 7 (25) UA 71755 U  2 n 2i  2i t  1s  2 i t   cp2i 2 i t 2 2   2 n 4i  4i t  1s  2 i t   cp4i 2 i t 4 4   2i t .   4i t (26) Із рівнянь (18), (21) отримаємо таке рівняння  2 n 2i  2i t  1s  2 i t   cp2i 2 i t 2 2   2 n 6i  6i t  1s  2 i t   cp6i 2 i t 6 6   2i t .   6i t (27) Із рівнянь (20), (22) отримаємо таке рівняння  2 n 4i  4i t  1s  2 i t   cp 4i 2 i t 4 4  2 n 6i  6i t  1s  2 i t   cp6i 2 i t 6 6    4i t .   6i t (28) Із системи (23),(24),(25),(26),(27),(28) рівнянь після нескладних перетворень отримаємо таку систему рівнянь        2  n1i 1i t   3i t  1s  2i t   3i t   cp1i 2i t   3i t  1 1 i 1 i 1 i 1    i 1  i 1 i 1    i 1 i 1  i 1   2  n 3i  3i t  1i t  1s  2 i t  1i t   cp3i 2 i t  1i t; 3 3  i 1  i 1 i 1        1s  1i t   3i t  1s  2 i t  1i t  2  n1i 1i t   3i t   n 3i  3i t  1i t   3   i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1  i 1  (29)         cp1i 2i t   3i t   cp1i 2i t   3i t ; 1 1   i 1 i 1 i 1  i 1     i 1 i 1 2  n1i 1i t   5i t  1s     i 1 i 1 i 1 i 1   i 1   2i t   5i t   cp1i 2i t   5i t  1 1  i 1        i 1 i 1 i 1 i 1  2 i t  1i t   cp5i 2 i t  1i t; 5 3  2  n 5i  5i t  1i t  1s        1s  1i t   5i t  1s  2 i t  1i t  2  n1i 1i t   5i t   n 5i  5i t  1i t   5   i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1  i 1  (30)         cp1i 2i t   5i t   cp5i 2 i t  1i t ; 1 5   i 1 i 1 i 1  i 1     i 1  i 1    i 1 i 1 i 1 i 1 2  n3i  3i t   5i t  1s  2 i t   5i t   cp3i 2 i t   5i t  3 3   i 1   i 1    i 1 i 1 i 1 i 1  2  n5i  5i t   3i t  1s  2 i t   3i t   cp5i 2 i t   3i t; 5 5            1s  2 i t   5i t  1s  2 i t   3i t  2  n3i 2 i t   5i t   n5i  5i t   3i t   3 5 3   i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1  i 1          cp3i 2 i t   5i t   cp5i 2 i t   3i t ; 3 5   i 1 i 1 i 1  i 1  8 (31) UA 71755 U    i1  i1    i1 i1 i1 i1 2  n2i2 it   4it  1s  2 it   4it   cp2i2 it   4it  2 2 2    i1  i1    i1 i1 i1 i1  2  n4i 4it   2it  1s  2 it   2it   cp 4i2 it   2it; 4 4  (32)           1s  2 it   4it  1s  2 it   2it  2  n2i2 it   4it   n4i 4it   2it   2 4 2   i1 i1 i1 i1 i1 i1 i1  i1          cp2i2 it   4it   cp 4i2 it   2it ; 2 4   i1 i1 i1  i1     i 1  i 1    i 1 i 1 i 1 i 1  2 i t   6i t   cp2i 2 i t   6i t  2 2 2  n 2i  2i t   6i t  1s    i 1 i 1  2  n 6i  6i t   2i t  1s         i 1 i 1 i 1 i 1  2 i t   2i t   cp6i 2 i t   2i t; 6 6        1s  2 i t   6i t  1s  2 i t   2i t  2  n 2i  2i t   6i t   n 6i  6i t   2i t   2 6   i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1  i 1  (33)         cp2i 2 i t   6i t   cp6i 2 i t   2i t ; 2 6   i 1 i 1 i 1  i 1     i 1  i 1    i 1 i 1 i 1 i 1 2  n 4i  4i t   6i t  1s  2 i t   6i t   cp2i 2 i t   6i t  4 2    i 1  i 1    i 1 i 1 i 1 i 1    2  n6i  6i t   4i t  1s  2 i t   4i t   cp6i 2 i t   4i t; 6 6       (34)    1s  2 i t   6i t  1s  2 i t   4i t  2  n 4i  4i t   6i t   n6i  6i t   4i t   4 6   i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1  i 1          cp 4i 2 i t   6i t   cp6i 2 i t   4i t . 4 6   i 1 i 1 i 1  i 1     Для визначення оцінок 1s , 1s , 1s , рівнянь:   1) для визначення оцінок 1s , 1s ,      t       1s 2 1i i1   1s  1s i1  cp1i 2i t 1 i1   3i t  i1  i 1  3i t   i 1  cp3i 2 i t 3   i1    2     1i t ;    i 1 частот 1s , 1s , застосуємо рівняння (29),(32): 1i t i1 i1   2 3i i1     t  частот 1s , 1s ,  , сформуємо наступні системи 1s i 1    n  t  2 1i 1i i1  3i t i1  n  3i  3i t i1  i1   1i t   (35)       i 1 i 1 i 1 i 1   2 i t   4i t  1s  2 i t  2 i t  2  n 2i 2 i t   4i t   n 4i  4i t   2i t   2 4 2 2            cp2i 2 i t   4i t    cp 4i 2 i t   2i t ; 2 4   i 1 i 1 i 1  i 1  9 (36) UA 71755 U    2i t 1 i1     t  4i t   2 2i i1    1i t i1  2 3i t 1i   i1 2 cp2i  2i t i1    t 2i i1  2 i t 4   2 cp1i  1i t i1 2     2 4i i1 4i t i1    i1 2 cp 4i  4i t  i1 1i 1i  2 cp3i  3i t i1  3i t   i1  n     4i  4i t   3i t i1   i1  2 4i t; i1   2i t     2i t   n  3i  3i t i1    2i t i1  i1   i1   n  t    4i t   i1  2i t 1  i1  (37) i1  i1  3i t   4i t     1i t      2i t    i1    t  i1  i1      2  n 2i  2i t   2    2 i t 3 i1  i1   2 i t 3 i1   i1  i1        t  1   2 i t 2 i1       3i t i1  i1            i1 (38)   1i t       ;  1i t      2i t   3i t 2  n 2i  2i t   4i t   n 4i  4i t   2i t   1   i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1           cp2i 2 i t   4i t   cp 4i 2 i t   2i t  2 4   i 1 i 1 i 1  i 1            2 i t   4i t 2  n1i 1i t   3i t   n 3i  3i t  1i t   2   i 1 i 1 i 1 i 1 i 1  i 1  (39)         cp1i 2i t   3i t   cp3i 2 i t  1i t  ; 1 3   i 1 i 1 i 1  i 1    1s  1  ; 1s  2 ;   (40)   2) для визначення оцінок 1s , 1s , частот 1s , 1s , застосуємо рівняння (30), (33):            1s  2i t   5i t  1s  2 i t  2i t  2  n1i 2i t   5i t   n 5i  5i t  1i t   1 5 1 1   i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1  i 1          cp1i 2i t   5i t   cp5i 2 i t  1i t ; 1 5   i 1 i 1 i 1  i 1           2 1s   2i t   6i t  1s  2 i t  2 i t  2  n 2i 2 i t   6i t   n 6i  6i t   2i t   6 2 2   i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1  i 1   (41)          cp2i 2 i t   6i t   cp6i 2 i t   2i t ; 2 6   i 1 i 1 i 1  i 1  10 (42) UA 71755 U   i1     5i t i1    t  6i t   2 2i i1 i1            2i t 1   1i t i1  2 i t 2 i1    i1   2 6i i1      6i t  i1  1i t      2i t    i1  i1 2 i t 5      t i1  2 i t 5 2i t 1 i1  (43)     2i t i1     5i t i1  2 6i ; i1     2 i t  1i t 2  n 2i  2i t   6i t   n 6i  6i t   2i t   5   i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 1            cp2i 2 i t   6i t   cp6i 2 i t   2i t  2 6   i 1 i 1 i 1  i 1    (44)         2 i t   2i t 2  n1i 1i t   5i t   n 5i  5i t  1i t   6   i 1 i 1 i 1 i 1 i 1  i 1           cp1i 2i t   5i t   cp5i 2 i t  1i t  ; 1 5   i 1 i 1 i 1  i 1    2  2i t 1 i1         i1 2 cp2i  2i t    2 cp1i  1i t 6i t i1   n 2i  2i t i1  2 cp6i  6i t i1    n  t  1i 1i i1  i1 2 cp5i  5i t i1 5i t   i1   2i t   n  5i  5i t i1    2i t    i1 (45)   1i t       ;  1i t    1  ; 1s  2 ;   1s  (46)   3) для визначення оцінок 1s , 1s ,   1s  2 i t 3 i1               6i t  2 i t 3 i1     5i t i1    t  6i t   2 4i i1   i1  3i t i1  i1 2 i t 4  i1     t    2 6i 2 i t 5  n 3i 2 i t 3 i1  cp6i 2 i t 6     3i t i1   i1    t 4i i1 i1   i1  i1      5i t  i1   n 5i  5i t i1  n  4i  4i t i1   i1  6i t i1  n i1  2 i t  5     2 i t  6     6i t    2     4i t ;   4i t i1 i1           i1 i1     3i t   (47)    6i t  1s i1  cp 4i 2 i t 4  2 i t 5   i1   i1 2 i t 4 частот 1s , 1s , застосуємо рівняння (31), (34):  2 i t  2 3  i1 i1      5i t   cp5i 2 i t  3i t ; 5  i1 i1    5i t  1s i1 i1       cp3i 2 i t 3     i1 1s     i1  i1    n 6i  6i t i1  i1   5i t   6i t  i1         6i t 2    i1   i1 2 i t 2 i1      i1    5i t 2     i1 2 i t 3  6i  6i t  i1   4i t   (48) (49)     4i t i1 11  i1   5i t  i1 2 6i ; UA 71755 U   1  2 i t 5 i1       i1 2 cp 4i  4i t    t     2 6i i1   2 cp3i  3i t  2 i t 3 i1    2 cp 4i  4i t i1  i1   i1 i1  n  5i t 3i  3i t   2 cp5i  5i t  n 4i  4i t i1  3i  3i t  i1   i1   5i t i1   i1  i1   6i t    n 6i  6i t i1   4i t     n  i1   4i t       i1 2 cp5i  5i t 5i  5i t (50)   3i t       3i t  ;    i1   2 cp6i  6i t  i1    4i t      n i1   5i t   i1  5i t  i1  i1  n   4i t    i1      n 6i  6i t i1  i1 6i t  i1 i1   2 cp6i  6i t    5i t 2       6i t  i1    6i t 2   2 cp3i  3i t   n 4i  4i t i1 i1 2 4i   i1   t     6i t   i1     i1         4i t 2   i1 2   3i t 2   i1 i1   i1     5i  5i t i1  i1 (51)   3i t       3i t  ;     1s  1  ; 1s  2 ;   (52)     Оцінки інерційно-жорсткісних і дисипативних параметрів m s , c s , h s , 0s визначають на підставі наступних аналітичних співвідношень:    2  2   2  2   2 2         1 1  m s   1s  1s   1s  1s  1m   1s  1s  2 m ;                   (53) 2 2         c s   1s  1s  m s  m s   1m  1m1;         (54)  2 2      c s   1s  1s  m s  m s   2m 1m1;         (55)  або   0s 2 2        1s  1s 1  m s  1m1         ; (56)  2 2        1s  1s 1  m s  2 m1  ;          (57) або   0s  2 (58) 2 h s  0s  1s ; 5 де 1i t,  2i t,  3i t,  4i t,  5i t,  6i t, i  12..., N - перша, друга, третя, четверта, п'ята, шоста групи , часових інтервалів; n1i, n2i, n3i, n4i, n5i, n6i, (і = 1,2,…, N) - перша, друга, третя, четверта, п'ята,шоста групи чисел циклів коливань у відповідних групах часових інтервалів; 12 UA 71755 U cp1i , cp2i , cp3i , cp4i , cp5i , cp6i - перша, друга, третя, четверта, п'ята,шоста групи діапазонів частот , ідо відповідають першій, другій,третій, четвертій, п'ятій і шостій групам часових інтервалів;  cp1i  0,5 1i   1i ,  cp2i  0,5  2i   2i ,  cp3i  0,5  3i   3i , 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55  cp 4i  0,5  4i   4i ,  cp5i  0,5  5i   5i ,  cp6i  0,5  6i   6i ; 1i , 2i , 3i , 4i , 5i , 6i , - перша, друга, третя, четверта, п'ята і шоста групи нижніх частот ,що відповідають першій, другій, третій, четвертій,п'ятій і шостій групам діапазонів частот; 1i, 2i, 3i, 4i, 5i, 6i, - перша, друга, третя, четверта, п'ята і шоста групи верхніх частот, що відповідають першій, другій, третій, четвертій, п'ятій і шостій групам діапазонів частот. Спосіб визначення параметрів нелінійної дисипативної коливної системи при застосуванні джерела енергії обмеженої потужності реалізують на підставі наступного алгоритму. 1) формують шість груп режимів по N режимів вимушених коливань в кожній групі досліджувальної нелінійної дисипативної коливної системи;першу і другу групи режимів вимушених коливань формують без зміни інерційності нелінійної дисипативної коливної системи, третю і четверту групи режимів формують при першій зміні інерційності, п'яту і шосту групи режимів формують при другій зміні інерційності, першу зміну інерційності коливної системи проводять шляхом жорсткого з'єднання з масою «m s» коливної системи першої додаткової маси 1m при вибору маси 1m із умови 1m