Механіко-геометричний прилад для децисекції радіанного кута

Реферат: UA 67870 U UA 67870 U 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 Корисна модель належить до конструкцій математичних інструментів [1], а саме: кутоподільних пристроїв, що дозволяють ділити геометрично задані в радіанній мірі кути на ціле число рівних частин і може знайти застосування у конструкторсько-проектувальних роботах в галузі машинобудування, будівельної архітектури, в навчальному процесі у вищих учбових закладах фізико-технічного профілю та фізико-математичних ліцеях. Відомі оптико-механічні пристрої для вимірювання і поділу кутів у формі теодолітів, секстантів, гоніометрів та ін. [2, 3]. Недолік таких пристроїв полягає в неможливості накладання їх лімбової шкали на геометричне зображення кутів в проектних кресленнях. Відомим приладом для поділу кутів лекальної природи, при накладанні якого на геометричне зображення кута є пристрій-лекало для трисекції кута, обраний як прототип [4]. Він являє собою прозору жорстку тришарову пластину, на якій зафіксована прямокутна система координат, нанесений масштаб радіуса одиничного кола та відрізок параболи третього степеня. Недолік такого приладу є неможливість виконати поділ кута на цілі числа першого десятку ряду натуральних чисел без виключення. В основу корисної моделі поставлено задачу створення механіко-геометричного приладу для децисекції радіанного кута, що в комбінації з циркулем і лінійкою дозволяє без виконання k ℓ m n арифметичних обчислень ділити радіанно заданий кут на числа N=2 ·3 ·5 ·7 , де k, ℓ, m, n - цілі числа або нулі. При k=m=1, ℓ=n=0 маємо децисекцію; при k=m=n=0, ℓ=2 отримуємо дев′ятисекцію; для k=3, ℓ=m=n=0 приходимо до восьмисекції; при n=1, k=ℓ=m=0 можна виконати семисекцію і т.д. Без такого механіко-геометричного приладу задача децисекції як і трисекції кута за допомогою тільки лінійки і циркуля не має розв'язку [5 с. 447]. Поставлена задача вирішується наступним чином. Механіко-геометричний прилад являє собою тришарову пластину, що містить вклеєний між двох прозорих жорстких пластин із органічного скла листок з нанесеними масштабом радіуса одиничного кола та графічними покажчиками. Останні виконані на комп'ютері і представлені на прозорому носії (плівка ПВХ) у формі додатних відрізків дуг парабол третього, п'ятого та сьомого степенів в системі прямокутних координат Оху. Ці відрізки виражаються непарними поліномами типу Чебишева П.Л. 3 y2k+1(х)=sin[(2k+1)arcsin x] x  [0 sin /(2k+1)] (k=1, 2,…, n). Для n=3 маємо у3=-4x +3х, x  [0, 5 3 7 5 3 sin /3]; y5=16x -20x +5x, x  [0, sin /5]; y7=-64x +112x -56x +7x, x  [0, sin /7]. Накладанням механіко-геометричного приладу на зображення кута, при якому прямокутна система приладу і кута збігаються, дозволяє виміряти циркулем радіуси малих кіл. Ці радіуси визначаються як абсциси точок перетину парабол паралеллю до осі О1, що проходить через точку перетину променем кута одиничного кола. Дотичні до малих кіл з точки перетину променів кута утворюють малі кути з одним із променів, рівні третій, п'ятій або сьомій частинам кута, що підлягає поділу на три, п'ять або сім рівних частин відповідно. Абсциси точок перетину зростаючих (спадаючих) відрізків парабол визначають радіуси малих кіл при діленні гострих (тупих) кутів; абсциси екстремумів цих парабол збігаються з радіусами малих кіл при поділі прямого кута. П'ятисекція або семисекція відбувається у спосіб, аналогічний трисекції [4], але з використанням тільки параболи п'ятої або сьомої степені для отримання відповідних радіусів малих кіл. При п'ятисекції радіус малого кола визначається як абсциса точки перетину паралеллю параболи п'ятого степеня, а дотична до нього ділить початковий кут у відношенні 1:4. Далі, використовуючи бісекцію більшої частини поділу, отримуємо три кути, що відносяться як 1:2:2. Виконуючи повторно бісекцію двох більших частин разом з дотичною до малого кола, отримуємо п'ятисекцію кута. У випадку семисекції радіус малого кола визначається як абсциса точки перетину паралеллю параболи сьомого степеня. В результаті отримуємо дотичну до малого кола, яка ділить початковий кут у відношенні 1:6. Далі послідовно виконуємо трисекцію більшої частини поділу і бісекцію кожного із трьох однакових кутів. В результаті разом із дотичною до малого кола отримуємо семисекцію початкового кута. Децисекція заданого своїми променями кута полягає у виконанні послідовності п'ятьох дій. 1. Облаштування діленого кута декартовою системою координат О 1, нанесення дуги кола одиничного радіуса та нанесення точок А, В його ПЕРЕТИНУ з променями кута, проведення ПАРАЛЕЛІ - лінії, колінеарної осі О1, що проходить через одну із точок перетину А, В. 2. Накладання механіко-геометричного приладу на зображення кута так, щоб осі декартових систем кута і механіко-геометричного приладу збігалися та вимірювання циркулем радіуса малого кола, як абсциси точок перетину паралеллю графіка параболи п'ятого степеня. 1 UA 67870 U 5 10 15 20 25 3. Накреслення малого кола з центром в одній із точок А, В та проведення дотичної до нього з точки О1 до перетину з одиничним колом. (Отримана дотична ділить початковий кут у відношенні 1:4). 4. Проведення бісектриси більшої частини поділу дає разом з дотичною поділ кута у відношенні 1:2:2. 5. Повторна бісекція більших частин поділу разом з дотичною до малого кола дає п'ятисекцію кута. Децисекцію отримуємо за рахунок бісекції усіх частин п'ятисекційного поділу. На фіг. 1 зображена графічна система механіко-геометричного приладу. Фіг. 2-4 ілюструють три- і шестисекцію, п'яти- і децисекцію та семисекцію прямого кута з використанням механікогеометричного приладу в комбінації з циркулем та лінійкою. На фіг. 5, 6 зображені п'яти- і семисекція гострого кута. Для прозорості на цих рисунках окремо подані дуги парабол п'ятого та сьомого степенів, взяті із фіг. 1. Поділ кута на 4 та 9 частин досягається шляхом його двократної бісекції та трисекції. Позитивною властивістю механіко-геометричного приладу є можливість децисекції кута без арифметичних обчислень з використанням тільки циркуля і лінійки. Модельний зразок механіко-геометричного приладу для децисекції радіанного кута виготовлено і досліджено його дієздатність, протиударна стійкість та ефективність. Джерела інформації: 1. Виллерс Ф.А. Математические инструменты. - М.: Изд. иностр. лит., 1949. 2. Новак И.Е. Курс инженерной геодезии: Учебник для вузов. - М.: Недра, 1989. 3. Физическая энциклопедия. Т. 1. – Москва: Научное издательство "Большая Российская энциклопедия", 1992. 4. Рішення на видачу патенту по заявці на корисну модель № u201012705 від 26.10.2010 "Пристрій-лекало для трисекції радіанного кута". Автор Плахтієнко М.П. 5. Математическая энциклопедия. Т. 5 - М.: Изд-во "Советская энциклопедия", 1985. ФОРМУЛА КОРИСНОЇ МОДЕЛІ 30 Механіко-геометричний прилад для децисекції радіанного кута, що має плоску форму і складається з прозорої жорсткої тришарової пластинки, на якій зафіксована прямокутна система координат, нанесений масштаб радіуса одиничного кола та відрізок дуги параболи третього ступеня, який відрізняється тим, що прилад містить відрізки дуг парабол п'ятого та сьомого ступенів. 2 UA 67870 U 3 UA 67870 U 4 UA 67870 U Комп’ютерна верстка М. Ломалова Державна служба інтелектуальної власності України, вул. Урицького, 45, м. Київ, МСП, 03680, Україна ДП “Український інститут промислової власності”, вул. Глазунова, 1, м. Київ – 42, 01601 5