Полюсно-нульовий спосіб виділення заданого корисного сигналу із суміші сигнал-шум

Полюсно-нульовий спосіб виділення заданого корисного сигналу із суміші сигнал-шум шляхом передачі суміші через чотириполюсник , характеристики якого обумовлені формою підведеного сигналу, який відрізняється тим, що сигналзбурення задають у вигляді напруги (струму) з однієї або суми декількох функцій експоненціаль 36469 ном оптимізований сигнал зростає до закінчення сигналу-збурення, де досягає свого максимального значення, а далі починається його зменшення за тим же законом до нуля, і все це потребує часу, що дорівнює подвійній протяжності сигналу на вході (2Т). Метою даного способу є підвищення ефективності виділення відомого корисного сигналу із суміші сигнал-шум. Поставлена мета досягається шляхом створення такої відповідності між сигналом і параметрами чотириполюсника, коли відгук на виході фільтру набуває максимально можливої у межах використовуваного джерела живлення амплітуди, а форма його при цьому наближається до сигналу, відомого як дельта-функція Дірака. Створюється це за рахунок того, що нулі та полюси зображеного за Лапласом сигналу, який діє на вході чотириполюсника, приводяться у однозначну відповідність до нулів і полюсів зображеної за Лапласом функції передачі чотириполюсника, який для даного сигналу відіграє роль оптимізованого фільтру. Суть даного способу полягає у послідовному виконанні наведених нижче операцій, що мають відношення як до сигналу на вході, так і до структури чотириполюсника: а) задаються сигналом-збуренням у вигляді напруги (стр уму) з однієї або суми декількох функцій експоненціально-затухаючої форми; б) записують дробово-раціональний вираз його зображення за Лапласом; в) обчислюють значення нулів та полюсів дробово-раціонального виразу зображення сигналу; г) проводять синтез електричного чотириполюсника згідно з отриманими значеннями нулів та полюсів так, щоб полюсами зображення коефіцієнта передачі чотириполюсника були нулі зображення підведеного сигналу, і навпаки; д) до входу синтезованого у такий спосіб чотириполюсника підводять зазначений сигнал і отримують на виході відгук у ви гляді імпульсу, що наближається за формою до дельта-функції Дірака. Збігаються спосіб-прототип і даний спосіб у наступному: форма сигналу, що діє на вході, відома заздалегідь; синтез узгодженого чотириполюсника здійснюється за відомою формою cигналу; до збереження форми сигналу вимог не ставиться, тому що для виявлення в умовах шуму форма сигналу значення не має. Відмінності між даним способом і способомпрототипом такі: сигнал на вході чотириполюсника має форму експоненціально-затухаючого імпульсу напруги (струму) або суми з їх цілого числа; визначаються нулі і полюси дробовораціональної функції зображеного за Лапласом сигналу-збурення; отримані значення нулів і полюсів дробовораціонального зображення сигналу використовуються для визначення полюсів і нулів зображення функції передачі чотириполюсника; за отриманими значеннями нулів і полюсів зображення функції передачі чотириполюсника проводиться його синтез; при взаємодії узгоджених за таким принципом сигналу і електричного чотириполюсника відбувається взаємокомпенсація нулів і полюсів сигналу полюсами і нулями функції передачі чотириполюсника відповідно; при підключенні до входу чотириполюсника сигналу, за допомогою якого чотириполюсник був синтезований, на його виході з'являється сигнал у вигляді дельта-функції Дірака; полюси сигналу можуть бути як простими, так і комплексно-спряженими. Поставлена мета досягається завдяки наступному. Відомо, що пряме перетворення Лапласа здійснює перехід від функції часу f(t) - оригіналу до нової функції F(p) - зображення. У найбільш загальному випадку зображення F(p) являє собою дробово-раціональну функцію комплексної змінної A( p ) a (p n ) + a n -1 ( p n -1 ) + ... + a1 p + a 0 = n m B( p ) bm p + bm -1 (p m -1 ) + ... + b1 ( p ) + b0 причому коефіцієнти а і b многочленів А(р) і В(р) речові числа, дріб F(p) є нескорочуваним, тобто многочлени А(р) і В(р) не мають спільних коренів. Крім того, як звичайно, задовольняється умова m>n. Відомо також, що методи представлення часових функцій (для нашого випадку - електричних напруг та стр умів) дають змогу з тих же позицій підійти до зображень параметрів двополюсників (опір, ємність, індуктивність), де оператори р та 1/р, при нульових початкових умовах, відіграють роль зображень диференціювання та інтегрування функцій, тобто зводять ці операції до звичайних алгебраїчних перетворень, що відбуваються вже у просторі комплексної змінної. З усякого роду з'єднань пасивних і активних двополюсників створюються електричні схеми, властивості яких характеризуються схемними функціями, і подібно до зображень функцій часу, вони також набувають вигляду дробово-раціональних виразів від комплексної змінної р. Корені чисельника і знаменника цих виразів є також нулями та полюсами схемної функції, і у кожному конкретному випадку, що залежить від схеми, набувають відповідних числових значень. За цими числовими значеннями здійснюється зворотні й перехід від зображення до оригіналу (функції часу) шля хом застосування теореми розкладу. При цьому визначається n складових експоненціальних функцій, алгебраїчна сума яких і дає загальний вигляд функції-відгук у. Оскільки нулі і полюси зображення сигналу на виході мають різні значення, то кожен вносить свою частку у формування відгуку на діючий на вході сигнал. Задачею даного способу є створення таких умов, коли значення нулів і полюсів зображення сигналу, що діє на вході, спеціально прирівнюються до значень відповідно полюсів і нулів зображення функції передачі чотириполюсника. Після досягнення такої полюсно-нульової рівності, при підключенні цього конкретного сигналу до входу взаємноузгодженого з ним чотириполюсника спостерігається явище взаємнокомпенсації нулів полюсами і навпаки. Як результат цієї взаємокомпенсації, що у математичній інтерпретації приводить до скорочення однакових складових частин чисельника і знаменника, у зображенні відгуку чотириполюсника залишається лише постійна величина (константа), а при зворотному перетворенні константи за Лапласом отримуємо оригінал у вигляді дельта-функції Дірака, що має безмежно F (p ) = 2 36469 коротку протяжність у часі разом тим є нескінченою за розмахом. Звичайно, така функція в умовах конкретної схеми буде обмежуватися потужністю джерел живлення і енергетичною спроможністю елементів, з яких складено чотириполюсник, але відповідатиме вирішенню поставленій у винаході задачі. На фіг.1 зображено схему реалізації способу за допомогою чотириполюсника з використанням електричного ланцюга першого порядку. Джерело сигналу 1 підключено до входу операційного підсилювача 2, що має активний опір R2, як ланку зворотного зв'язку, і паралельний R1 С1-ланцюг на вході, до якого підключено джерело сигналу 1. Пристрій працює за таким принципом. Джерело сигналу 1 виробляє напругу U вх (t ) = U × e 1 R1C1 , t і на виході при зворотному перетворенні за Лапласом маємо сигнал у вигляді дельта-функції Дірака. На фіг. 3 наведено один із варіантів реалізації способу з використанням ланцюга другого порядку. Джерело сигналу 1 також підключено до входу операційного підсилювача 2, у якого на вході маємо резистор R1, а зворотній зв'язок здійснюється через послідовний L1C1R2-ланцюжок. Така схема чотириполюсника матиме місце у тому випадку, коли необхідно узгодити його з сигналом на вході, зображення якого має вже не один, а два полюси у знаменнику та нуль на початку координат, тобто p Uвх ( p) = . ( p + p1)( p + p2 ) Коефіцієнт передачі зображеного чотириполюсника запишеться як ³ 0, Z ( p) K ( p) = - 2 =Z1 ( p ) зображення якої Uвх ( p) = U 1 1 pCL R1 = L1( p + p1)( p + p2 ) , R1p де 1 ) R1C1 і має один полюс (корінь знаменника), що дорів1 нює . Зображення коефіцієнта передачі R 1C1 узгодженого чотириполюсника, як того вимагає спосіб, повинно мати нуль (корінь чисельника) того ж числового значення, що і полюс у зображенні діючої на його вході напруги, і для наведеної схеми реалізації буде: Z ( p) 1 K (p ) = - 2 = - R2C1( p + ). Z1 (p) R1C1 Після дотримання такої полюсно-нульової рівності відгук на виході чотириполюсника запишеться як Uвих( p) = Uвх ( p)K (p) = (p + p1 = - a + a 2 - w 2 , p 2 = - a - a 2 - w 2 , R2 1 , w2 = . 2L1 L1C1 Тоді сигнал на виході чотириполюсника, як результат перемноження Uвх(р) на Uвих(р), знову буде мати вигляд постійної величини, яка залишиться після взаємокомпенсації нулів і полюсів цих двох зображень, і при переході в область оригіналів шляхом зворотного перетворення Лапласа дасть, з точністю до постійного множника, таку ж саму дельта-функцію Дірака. Оскільки значення нулів і полюсів зображень сигналу і коефіцієнта передачі чотириполюсника, залежно від співвідношень між а та w, можуть бути чисто речовими, комплексноспряженими, або уявними, то, відповідно до цього, форма сигналу на вході матиме характер алгебраїчної сумі двох експонент, затухаючого за експоненціальним законом синусоїдального сигналу, або, в ідеальному граничному випадку, для ланцюгів, що не мають втрат, - чисто гармонійного коливання. У випадку використання більш складних за формою сигналів, зображення яких мають три і більше полюси, тобто є функціями більш високого порядку, то, згідно з теоремою розкладу, їх можна замінити сумою складових першого і другого порядків, а узгоджені з такими сигналами чотириполюсники будуть синтезовані із відповідного числа ланцюгів також першого і другого порядків. Спосіб має на меті досягнення енергетичного виграшу у співвідношенні сигналу до струму і полягає у наступному. Оскільки пікове значення сигналу на виході фільтра-прототипу збігається з автокореляційною функцією підведеного до його входу сигналу при нульовому зсуві і, з точністю до постійного коефіцієнта, визначається як Sвих(to)=BE, а дисперсія (середня потужність) шуму на виході оптимального фільтра-прототипу N=В2W0E , то відношення пікового значення сигналу на виході до середньоквадратичного (ефективного) значення шуму буде: a= 1 1 R2C1( p + R1C1 ) = -UR2C1, 1 (p + ) R1C1 тобто зображення сигналу на виході є постійною величиною, і, як зазначено, зворотним перетворенням Лапласа від константи є, з точністю до цієї константи, дельта-функція Дірака. Реально на момент подачі сигналу має місце полюс, що розміщується на значній відстані від початку координат. Він відповідає ємності конденсатора С1 і внутрішньому опорові між двома входами операційного підсилювача Ri, обумовлює відповідно малу постійну часу і імпульс Дірака на виході набуває форми короткодіючого імпульсу експоненційної форми. На фіг. 2 показано варіант реалізації способу з використанням RL-ланцюга першого порядку, що включається як ланка зворотного зв'язку операційного підсилювача 2. У цьому випадку коефіцієнт передачі чотириполюсника К(р) узгоджено з сигналом джерела 1 на вході Uвх(p) таким чином, що R2 (p + )L1 1 L1 U вх ( p ) = , K (p ) = . R2 R1 p+ L1 Тоді сигнал на виході чотириполюсника буде: L1 U( p) = Uвх (p)K ( p) = , R1 = -U R 2 + pL1 + Sвих (t 0 ) / N = 3 E , W0 36469 або 2Е/W0 для відношення пікової потужності сигналу до середньої потужності шуму, тобто для білого шуму у способу-прототипу це відношення залежить тільки від енергії сигналу Е і від енергетичного спектру шуму W0. При використанні полюсно-нульового способу сигнал і шум на виході чотириполюсника мають такі характеристики. Сигнал на виході являє собою дельта-функцію Дірака. Це означає, що теоретично він міг би мати нескінченно велику енергію, бо для такого імпульсу вона дорівнює 1/t2, де t є його протяжністю у часі, але цей показник обмежується реальною енергією джерела живлення, тобто 1/t2=Е дж . Для конкретного джерела живлення і починаючи з конкретної протяжності у часі імпульс на виході чотириполюсника буде обмеженим по амплітуді, яка відповідає значенню напруги цього джерела. Енергія шуму на виході будь-якого чотириполюсника дорівнює його енергії на вході, помноженій на квадрат модуля коефіцієнта передачі цього чотириполюсника. На прикладі першого варіанту реалізації полюсно-нульового способу бачимо, що квадрат модуля коефіцієнта передачі чотириполюсника буде: 2 s 2 вих = 1 / 3( Dw 0t д ) 2 s 1вих . 2 Якщо врахувати, що для якісного диференціювання потрібно виконати умови Dω0tд